Меню
Моите идей:
Да опроста задачата приемайки $n = m+1$. (1)
Освен това е очевидно, че колонките и редовете могат да сменят помежду си местата без това да се пречи на ословието. (2)
Нека $a_{(i)(j)}$ бъде полето в ред номер $i$ и колонка номер $j$, $ред (i)$ да бъде сбора на числата в ред номер $i$, $колонка(j)$ да бъде сбора на числата в колонка номер(j) и нека бъде $d(a_{(i)(j)}) = ред (i) - колонка(j)$. То тогава следва за табелка с $\alpha$ редчета и $\beta$ колонки
$\displaystyle\sum_{i=1}^{\alpha}\sum_{j=1}^{\beta}d(a_{(i)(j)}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{\alpha}\sum_{j=1}^{\beta}(ред (i) - колонка (j)) = \beta\displaystyle\sum_{i=1}^{\alpha}ред (i) - \alpha\displaystyle\sum_{j=1}^{\beta}колонка (j),$ (3)
тоест за наща табелка
$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m+1}d(a_{(i)(j)}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m+1}(ред (i) - колонка (j)) = (m+1)\displaystyle\sum_{i=1}^{m}ред (i) - m\displaystyle\sum_{j=1}^{m+1}колонка (j) = S$, (4)
при което $S$ е сбора на всички полета на табелката.
Не мога обаче да намеря подреждане спрямо (2), което да ми върши работа. Единствената ми идеия беше да подреда полетата така, че в $a_{(1) (1)}$, $a_{(2) (2)}$... $a_{(m-k) (m-k)}$ $(k < m)$ за възможно най–малко $k$ да са положителни числа, а във всички полета $a_{(i)(j)}$ с $i > m-k$ и $j > m-k$ да е $0$, но не успях да намеря начин да се възползвам от това подреждане. Единственото което открих е, че при такова подреждане, ако приемем че няма поле $a_{(i)(j)}$ с положително число за което $d(a_{(i)(j)}) >0$, то тогава
$\displaystyle\sum_{i=1}^{m-k}\sum_{j=1}^{m-k}d(a_{(i)(j)}) = (m-k)(\displaystyle\sum_{i=1}^{m-k}ред (i) - \displaystyle\sum_{j=1}^{m-k}колонка (j)) \leq 0$,
тоест $\displaystyle\sum_{i=m-k+1}^{m}\sum_{j=1}^{m-k}(a_{(i)(j)}) \geq \displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=m-k+1}^{m+1}(a_{(i)(j)})$.
Тази задача ме тормози вече повече от една седмица, ще съм благодарен ако някой може да помогне
