Кубично уравнение

[Гост]

Уравнението [tex]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/tex] има три реални корена, като [tex]x_{1 }<x_{2 }<x_{3 }[/tex]. Докажете, че [tex]\sqrt{a^{2}-3b}<x_{3 }-x_{1 }\le2\sqrt{\frac{a^{2}}{3}-b}[/tex].

[pal702004]

Предполагам, че второто неравенство е $\le 2\sqrt{a^2-3b}$, което може да е още по-строго $<\sqrt{2(a^2-3b)}$

Нека корените са $n-u,n,n+v$ за някое реално $n$ и положителни $u,v$ (защото по условие корените са различни).

От формулите на Виет получаваме:

$a=-(3n+v-u)$

$b=n(n-u)+n(n+v)+(n-u)(n+v)=3n^2+2(v-u)n-uv$

Откъдето $a^2-3b=u^2+uv+v^2$

Остана елементарното

$\sqrt{u^2+uv+v^2}<u+v<\sqrt{2(u^2+uv+v^2)}$

[pal702004]

Аха, значи неравенството всъщност е

$\sqrt{a^2-3b}<x_3-x_1\le 2\sqrt{\dfrac{a^2-3b}{3}}$

Странно, не ми се изобразява дробната черта...

И тогава второто придобива вид

$3(u+v)^2 \le 4(u^2+uv+v^2)$

и е нестрого.