Петоъгълник

[Гост]

ABCDE е изпъкнал петоъгълник с равни страни. Диагоналите АD и ЕС се пресичат в точка F, като [tex]\angle[/tex]AFE=60[tex]^\circ[/tex]. Докажете, че ABCDE има двойка успоредни страни.

[Гост]

Виж тук: https://artofproblemsolving.com/communi ... 66p2913628

[S.B.]

ABCDE е изпъкнал петоъгълник с равни страни. Диагоналите АD и ЕС се пресичат в точка F, като [tex]\angle[/tex]AFE=60[tex]^\circ[/tex]. Докажете, че ABCDE има двойка успоредни страни.

Без заглавие - 2020-09-30T152353.271.png (337.09 KiB) Прегледано 1568 пъти

[tex]\angle AFE = 60^\circ \Rightarrow \angle EFD = 120^\circ[/tex]
$\angle AFC = \angle EFD$ като връхни ъгли
Построявам симетралата на $AC$ - $S_{AC }$
Ще докажа,че $F\in S_{AC }$:
Разглеждам $\triangle ABF$ и $\triangle CBF$:
1) $AB = BC (=a)$
2)$FB$ - обща страна
3)$\angle ABF = \angle CBF$ ( от равнобедрения триъгълник $ABC$)
$\Rightarrow \triangle ABF \cong \triangle CBF, \Rightarrow AF = CF \rightarrow F\in S_{AC }$
$\Rightarrow \triangle AFC$ е равнобедрен,$FB$ е ъглополовяща на $\angle AFC \Rightarrow \angle AFB = \angle CFB = 60^\circ$
$\angle DFC = \angle EFA = 60^\circ$
$\Rightarrow FC$ е ъглополовяща на $\angle BFD$
Като ъглополовяща , $FC$ се явява и ос на симетрия за точките от раменете на $\angle DFB$
Но за точките $D$ и $B$ е изпълнено и $DC = BC$ тъй като $\triangle DCB$ е равнобедрен
$ \Rightarrow т. C $ принадлежи на симетралата на $DB$ - $S_{DB }$
Но през 2 точки минава точно една права $\Rightarrow$ ъглополовящата $FC \equiv S_{DB } $
Тогава $CF\cap DB = K , CF\bot DB ,DK = BK$
$\triangle FKD\cong \triangle FKB$ ( по катет и хипотенуза)
$\Rightarrow FD = FB$
$\triangle EFB \cong \triangle EFD$ ( първи признак) $\Rightarrow DE = EB (=a)$
За четириъгълника $BCDE$ получихме $BC = DE$ и $ DC = EB \rightarrow BCDE$ е успоредник
$$\Rightarrow DC||ED$$