Bundeswettbewerb Mathematik 2020, 2 кр, зад 3-движещи точки.

[drago]

Правите $m$ и $n$ се пресичат в точка $P$. Точките $M$ и $N$ се движат с една и съща постоянна скорост съответо по правата $m$ и $n$. Те преминават през точка $P$, но по различно време.
Докажете, че съществува фиксирана точка $Q\ne P$, такава че точките $P,Q,M$ и $N$ лежат на една окръжност през цялото време.

[Knowledge Greedy]

Със съображения за непрекъснатост доказваме, че има момент [tex]t_0[/tex], в който точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] се озовават в положения [tex]M_0[/tex] и [tex]N_0[/tex]
- съответно върху правите [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] - така, че [tex]PM_0=PN_0[/tex]
Ще докажем, че местоположението на точката [tex]Q[/tex] е върху една от ъглополовящите на ъглите с рамена - части от правите [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex]
и по-точно - вторият край на диаметъра през върха [tex]Р[/tex] на описаната окръжност [tex]k_o[/tex] около равнобедрения [tex]\triangle M_0N_0P[/tex]

Германската задача на Драго.png (9.38 KiB) Прегледано 603 пъти

Нека [tex]M[/tex] бяга от [tex]P[/tex], а [tex]N[/tex] се приближава към [tex]Р[/tex]. Във всеки момент [tex]M_oM = N_oN[/tex] - по условие.
Ясно е, защо [tex]N_oQ = M_oQ[/tex] - хорди, стягащи равни дъги в окръжността [tex]k_o[/tex] (респективно равни съответни катети от еднаквите [tex]\triangle PQM_o[/tex] и [tex]\triangle PQN_o[/tex])
И още - правите ъгли [tex]\angle QM_oM[/tex] и [tex]\angle QN_oN[/tex] - прилагаме първи признак за еднаквост.

От еднаквостта на оцветените в жълто триъгълници следва, че [tex]\angle PMQ + \angle PNQ =180^\circ[/tex] и това ни уверява, че всяка описана окръжност [tex]k[/tex] около [tex]\triangle MNP[/tex]
ще премине и през точката [tex]Q[/tex], защото четириъгълникът [tex]NPMQ[/tex] е вписан в нея.

[drago]

Заех я от тук.