Принципа на Дирихле

[Гост]

Докажете, че има естествено число, записано само с цифрата 7 в десетичен запис, което се дели на 2021.

[Illuzion]

Да разгледаме първите $2022$ числа от вида $11\cdots 1$. Ясно е, че има две измежду тях, които дават един и същ остатък при делене на $2021$ - $a$ и $b$. Сега $2021$ дели тяхната разлика и понеже $gcd(2021, 10^k)=1$ за всяко $k$, то $2021$ дели и $\frac{\lvert a-b\rvert}{10^k},$ (избираме $k$ да е степента на $10$, която напълно дели $a-b$) което е число от желания вид.

[Гост]

"...записано само с цифрата 7..."

А?! Как така? Имате предвид записано само с цифрата 1, а не 7, нали така?

[Illuzion]

"...записано само с цифрата 7..."

А?! Как така? Имате предвид записано само с цифрата 1, а не 7, нали така?

Мерси за поправката - в решението по-горе трябва да умножим $\frac{|a-b|}{10^k}$ по $7$ и ще получим такова число.