Дробно ирационално уравнение

[Меди]

Решете уравнението: $$x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{35}{12}.$$

Скрит текст: покажи

Решенията са $x=\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{3}.$ Аз не успях да реша задачата.

Весели празници!

[skadevil]

Задачата сигурно има по-лесен начин за решение но ето този, с който аз я реших(надявам се да е вярна ) и е стандартният, но са много гадни сметките!
1. Привеждам под общ знаменател
2.Пресмятам докато не стане някакво по-хубаво ирационално, за да повдигна на квадрат
3.Правя сметките, за да намеря решенията, като после ги съпоставям с допустимите стойности x[tex]\in[/tex](1;[tex]\frac{35}{12}[/tex])
Много се извинявам, че ги пращам на снимка, ако има нещо питай
Весели празници и на теб

[123a]

$$x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{35}{12}.$$
Определяме ДМ
[tex]\sqrt{x^2-1}>0[/tex]

Повдигаме на втора и получаваме

$x^2+\frac{x^2}{x^2-1}+2.\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1225}{144}$

$\frac{x^4-x^2+x^2}{x^2-1}+2.\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1225}{144}$

$\frac{x^4}{x^2-1}+2.\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1225}{144}$

$(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}})^2+2.\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1225}{144}$

Нататък мисля, че е ясно.

[math10.com]

Едно нестандартно решение от мен.

[tex]x(1+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}})=\frac{35}{12} \Rightarrow x>0; x<\frac{35}{12} ; x^2-1> 0[/tex] обобщаваме [tex]DM: x\in (1; \frac{35}{12})[/tex]

Полагаме: [tex]x=\frac{1}{sos \varphi}[/tex] [tex]\Rightarrow x^2-1=\frac{sin^2\varphi}{cos^2\varphi}=tg^2 \varphi ( DM : cos \varphi \in (\frac{12}{35}; 1)[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{1}{sos \varphi}(1+\frac{1}{tg\varphi})=\frac{35}{12}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{1}{sos \varphi}+\frac{1}{sos \varphi}.\frac{sos \varphi}{sin \varphi}=\frac{35}{12}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{1}{sos \varphi}+\frac{1}{sin \varphi}=\frac{35}{12}[/tex]

[tex]\Rightarrow sin \varphi + cos \varphi = \frac{35}{12}sin \varphi.cos \varphi[/tex]

Сега повдигаме на квадрат [tex]\Rightarrow sin^2 \varphi + cos^2 \varphi +2sin \varphi.cos \varphi=(\frac{35}{12}sin \varphi.cos \varphi)^2[/tex]

[tex]1+sin 2\varphi = \frac{1225}{576}sin^2 2\varphi[/tex]

[tex]\frac{1225}{576}t^2-t+1=0[/tex] с дискриминанта [tex]D=\frac{1225}{144}+1=\frac{1369}{144}=(\frac{37}{12})^2[/tex]

[tex]\Rightarrow t_1=(1+\frac{37}{12})\frac{288}{1225}=\frac{49.12.24}{12.49.25}=\frac{24}{25} ; t_2=(1-\frac{37}{12})\frac{288}{1225}=-\frac{25.12.24}{12.49.25}=-\frac{24}{49}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} (sin \varphi +cos \varphi)^2= 1+sin 2\varphi=1+t_1 =\frac{49}{25} \Rightarrow sin \varphi +cos \varphi=\pm \frac{7}{5}\\(sin \varphi -cos \varphi)^2= 1-sin 2\varphi=1-t_1 =\frac{1}{25} \Rightarrow sin \varphi -cos \varphi=\pm \frac{1}{5} \end{array}[/tex]

Като извадим от 1-вото 2-рото получаваме 4 стойности за [tex]cos \varphi_1 = \frac{3}{5} ; cos \varphi_2 = \frac{4}{5} ; cos \varphi_3 =- \frac{3}{5} \notin DM ;cos \varphi_4 = -\frac{4}{5}\notin DM[/tex]

[tex]\Rightarrow x_1= \frac{5}{3} ; x_2= \frac{5}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} (sin \varphi +cos \varphi)^2= 1+sin 2\varphi=1+t_2 =\frac{25}{49} \Rightarrow sin \varphi +cos \varphi=\pm \frac{5}{7}\\(sin \varphi -cos \varphi)^2= 1-sin 2\varphi=1-t_2 =\frac{73}{49} \Rightarrow sin \varphi -cos \varphi=\pm \frac{\sqrt{73}}{7} \end{array}[/tex]

Като извадим от 1-вото 2-рото получаваме 4 стойности за [tex]cos \varphi_5 = \frac{5+\sqrt{73}}{14} ; cos \varphi_6 = \frac{\sqrt{73}-5}{14} \notin DM; cos \varphi_7 = \frac{5-\sqrt{73}}{14} \notin DM ;cos \varphi_8 = - \frac{5+\sqrt{73}}{14} \notin DM[/tex]

[tex]\Rightarrow x_3= \frac{7(\sqrt{73}-5)}{24}[/tex]