Синусова теорема

[Гост]

В равностранния триъгълник ABC е вписан равностранният триъгълник DEF така, че D [tex]\in[/tex] BC, E [tex]\in[/tex] AC, F [tex]\in[/tex] AB. Намерете [tex]\cos\angle DEC[/tex], ако AB:DF=8:5.

[Меди]

Получих$$\cos\measuredangle CED=\dfrac{4\pm3\sqrt{3}}{10}.$$ Такива ли са отговорите?

[S.B.]

В равностранния триъгълник ABC е вписан равностранният триъгълник DEF така, че D [tex]\in[/tex] BC, E [tex]\in[/tex] AC, F [tex]\in[/tex] AB. Намерете [tex]\cos\angle DEC[/tex], ако AB:DF=8:5.

Без заглавие - 2021-01-27T180339.844.png (384.3 KiB) Прегледано 1527 пъти

$AB : DF = 8:5 \Rightarrow AB = 8k , DF = 5k , k>0$

За [tex]\triangle CED[/tex] прилагам Косинусова теорема:

$cos\angle CED = \frac{CD^{2} - CE^{2} - ED^{2}}{- 2CE.ED} \Leftrightarrow cos\varphi = \frac{k^{2}x^{2} - k^{2}(8 - x)^{2} - 25k^{2}}{-10k^{2}(8 - x)} \Leftrightarrow cos\varphi = \frac{x^{2} - (8 - x)^{2} - 25}{- 10(8 - x)}\Leftrightarrow$

$cos\varphi = \frac{(x - 8 + x)(x + 8 - x) - 25}{- 10(8 - x) } \Rightarrow cos\varphi = \frac{8(2x - 8) - 25}{- 10(8 - x)}$

Отново прилагам Косинусова теорема за $\triangle CED$

$ED^{2} = CE^{2} + CD^{2} - 2.CE.CD.cos 60^\circ \Leftrightarrow 25k^{2} = k^{2}(8 - x)^{2} + k^{2}x^{2} - 2k^{2}.x.(8 - x).\frac{1}{2} \Leftrightarrow $
$25 = (8 - x)^{2} + x^{2} - x(8 - x) \Leftrightarrow 3x^{2} - 24x + 39 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 8x + 13 = 0 ,D = 12 , x_{1,2 } = 4 \pm \sqrt{3}$

За $x_{1 } = 4 + \sqrt{3} \rightarrow$

$cos\varphi = \frac{8(2x - 8) -25}{- 10(8 - x)} = \frac{8(8 + 2\sqrt{3} - 8) - 25}{- 10(4 - \sqrt{3})} = \frac{(16\sqrt{3} - 25)(4 + \sqrt{3})}{-10(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})} = \frac{64\sqrt{3} + 48 -100 - 25\sqrt{3}}{- 10.13} =$
$= \frac{39\sqrt{3} - 52}{- 10.13} = \frac{-13(4 - 3\sqrt{3})}{- 10.13} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10}$

За $x_{2 } = 4 - \sqrt{3} \rightarrow$

$cos\varphi = \frac{8(2x - 8) - 25}{- 10(8 - x)} = \frac{8(8 - 2\sqrt{3} - 8) - 25}{-10(4 + \sqrt{3})} = \frac{- 16\sqrt{3} - 25}{-10(4 + \sqrt{3})} = \frac{(16\sqrt{3} + 25)(4 - \sqrt{3})}{10(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})} = $
$ = \frac{64\sqrt{3} - 48 + 100 - 25\sqrt{3}}{10.13} = \frac{39\sqrt{3} + 52}{10.13} = \frac{13(4 + 3\sqrt{3})}{10.13} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10}$
$$cos\angle CED = \frac{4 \pm 3\sqrt{3}}{10}$$
Големината на ъгъла,косинуса на който се търсеше,зависи от разположението на точките $D,E,F$.Той може да бъде с големина $\varphi$ или $120^\circ - \varphi$.За това се получават две стойности за $cos\varphi$.Тогава дължините на отсечките с големина $x$ и $8 - x$ също ще се разменят и вписаният $\triangle DEF$ ще се "завърти" по посока на часовниковата стрелка.Само два триъгълника могат да се впишат.

Скрит текст: покажи

Чудя се защо ли темата носи заглавие "Синусова теорема"

[Гост]

Защото има поне според мен по-кратко решение със синусова теорема.Изпратих го на лично съобщение на @Меди.Ако не го мързи може да го постне

[S.B.]

Защото има поне според мен по-кратко решение със синусова теорема.Изпратих го на лично съобщение на @Меди.Ако не го мързи може да го постне

Аз видях това решение.То (доколкото разбрах!) не е Ваше,а е преписано от сайт.Може би ще бъде по-добре ако Вие постнете това решение,като го придружите с чертеж и разпишете процеса в който "се елиминира" отсечката $CD$ от равенството (както е препоръчано):
[tex]\frac{sin\alpha}{CD} = \frac{sin(120^\circ - \alpha)}{AB - CD} = \frac{sin60^\circ}{DE}[/tex]
Всяко решение има своите достойнства.
Моето решение,може да е по-дълго,но аз съм разписвала всичко подробно.Освен това то е ЛИЧНО МОЕ решение (със всичките си предимства и недостатъци!) и аз заставам зад всеки ред от него.
Аз съм от по-старото поколение математици,за което удоволствието от самостоятелното решаване на една задача има водещо значение.Когато започнах да решавам задачата,на първи план пред мен стоеше построителната задача - т.е. как може да се впише триъгълникът,а после останалата част от задачата.
Не на последно място считам,че заглавието на темата не бива да се свързва с метода по който се решава задачата.Кой знае?Може да има и други методи за решаване на тази задача?

[Гост]

Само да уточня, че аз не преписвам решения от сайтове.В случай , че прочета нещо някъде просто давам линк към сайта.Никъде не е казано по какъв начин да се решава задачата , най-млко пък аз да съм го казал (не съм автора на темата и задачата).Репликта беше на въпроса "защо темата на задачата е Синусова теорема?" .Искате да вложа прекалено много усилия , за задача вече решена във форума.В решението ,което предложих няма нищо интресно и специфично.В случая получих въпрос на лично съобщение и отговорих на питащия дали са му верни отговорите с прикрепени необходимите за това обяснения.Също така не разбирам , каква е причината да бъде написан предходния пост