Уравнение в цели числа

[georgi111]

Да се намерят всички цели положителни числа [tex]x,y[/tex], за които е в сила : [tex]x^{x^{x^x}}=(19-y^x).y^{x^y} - 74[/tex] (Originally problem 1 from the 1974 Grade 9 competition at the Leningrad Math Olympiad.)

[georgi111]

Стори ми се подходяща и сходна с повечето от първите задачи на НМО

[Illuzion]

Лесно се вижда, че $(19-y)\cdot y$ е четно. Значи и $x$ е четно и съответно $x\geq 2$.

Трябва $(19-y^x)$ да е положително, което е възможно само при $y\leq 4$ (да припомним, че $x\geq 2$).

Ако $y$ е четно, то лявата страна се дели на $4$, а дясната дава остатък $2$ при делене на $4$. Ако пък $y=1$, то дясната страна е отрицателна. Значи $y=3$, като при това $19-3^x>0$. Единствената възможност е $x=2$. Оказва се, че това е решение (оставям като упражнение на читателя да го провери ).