Неравенство с реални положителни числа

[georgi111]

Да се докаже, че [tex]\frac {(2a+b)\sqrt \frac{a}{b} + (2b+c)\sqrt \frac{b}{c} + (2c+a)\sqrt \frac{c}{a}}{a+b+c} \ge 3[/tex], където [tex]a,b,c[/tex] са положителни реални числа.

[georgi111]

Решение на Борис Гачевски :

[georgi111]

Решение мое: От неравенството между средно-аритметично-геометрично имаме: [tex](2x+y)\sqrt \frac {x}{y}=\sqrt \frac {x^3}{y} + (\sqrt \frac {x^3}{y} + \sqrt{xy}) \ge \sqrt \frac {x^3}{y} + 2.\sqrt {\sqrt{\frac {x^3}{y}}.\sqrt{xy}}=\sqrt \frac {x^3}{y} + 2x[/tex], с равенство ако [tex]\sqrt \frac {x^3}{y}= \sqrt {xy}[/tex], което е в сила точно когато [tex]x=y[/tex]. Следователно е достатъчно да докажем, че [tex]\sqrt \frac {a^3}{b} + \sqrt \frac {b^3}{c} + \sqrt \frac {c^3}{a} \ge a + b + c[/tex](1). От неравенството на Коши-Шварц имаме: [tex]\sum_{cyclic}\sqrt \frac {a^3}{b}.\sum_{cyclic}\sqrt {ab} \ge (\sum_{cyclic}\sqrt {\sqrt{\frac{a^3}{b}}.\sqrt{ab}})^2=(a+b+c)^2[/tex](2) с равенство точно когато : [tex]\frac {\frac{a^3}{b}}{ab}=\frac {\frac{b^3}{c}}{bc}=\frac {\frac{c^3}{a}}{ca}[/tex], което е истина точно когато [tex]a=b=c[/tex]. Понеже [tex]a+b+c=\frac {a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt {ca}[/tex] , то имаме от (2) , че : [tex]\sum_{cyclic}\sqrt \frac {a^3}{b}.\sum_{cyclic}\sqrt {ab} \ge (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})[/tex] и разделяйки двете страни на : [tex]\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}[/tex], (1) , което трябваше да докажем лесно следва. Равенство има тогава и само тогава, когато [tex]a=b=c[/tex]