Вписан четириъгълник

[Гост]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност така, че AB : BC : CD : DA = 3: 4 : 2 : 3
Ако радиусът на окръжността е 2, намерете лицето на четириъгълника ABCD.

Може ли помощ с решението на задачата? Тя е от Великденското математическо състезание и има само даден отговор (4 + 2 по корен 3) без обяснения и аз не успях да я реша

[S.B.]

\Rightarrow

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност така, че AB : BC : CD : DA = 3: 4 : 2 : 3
Ако радиусът на окръжността е 2, намерете лицето на четириъгълника ABCD.

Може ли помощ с решението на задачата? Тя е от Великденското математическо състезание и има само даден отговор (4 + 2 по корен 3) без обяснения и аз не успях да я реша

Без заглавие - 2021-02-15T070442.165.png (276.41 KiB) Прегледано 1580 пъти

От [tex]\overset{\displaystyle\frown}{AB} : \overset{\displaystyle\frown}{BC} : \overset{\displaystyle\frown}{CD} : \overset{\displaystyle\frown}{DA} =
3: 4: 2: 3 \rightarrow 3x + 4x + 2x + 3x = 360^\circ \Rightarrow x = 30^\circ[/tex]
$\overset{\displaystyle\frown}{AB} = 90^\circ \Rightarrow \angle AOB = 90^\circ$ , $\overset{\displaystyle\frown}{BC} = 120^\circ \Rightarrow \angle BOC = 120^\circ$
$\overset{\displaystyle\frown}{CD} = 60^\circ \Rightarrow \angle COD = 60^\circ$ , $\overset{\displaystyle\frown}{DA} = 90^\circ \Rightarrow \angle DOA = 90^\circ$
$S_{ABCD } = S_{\triangle AOB } + S_{\triangle BOC } + S_{\triangle COD } + S_{\triangle DOA}$
$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOD} = 2$
$S_{\triangle BOC} = S_{\triangle COD} = \sqrt{3}$ - решаваш триъгълниците чрез тригонометрия или с помощта на Питагор (в зависимост от нивото на подготовката ти)
$S_{ABCD } = 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 2 = 4 + 2\sqrt{3}$

[Гост]

Аз тълкувах условието като отношение на страните, а не като отношение на дъгите, понеже в задачата нямаше дъги отгоре на AB, BC, CD, DA, затова получавах различен отговор (7,2 кв. см. бях получил аз). Благодаря!

[math10.com]

При така зададеното условие отношението ,което е дадено по условие е за страните , а не за дъгите.

Ето решение и със страните.Отговора е различен тъй като отношението на дъгите не е същото ,както отношението на страните.Ако в условието няма дъги отгоре си го тълкувал правилно.Отговора , който е даден обаче е верен при отношение на дъгите.

Нека [tex]AB=3x ; BC=4x ; CD=2x ; AD=3x ; \angle DAB=\alpha \Rightarrow \angle BCD=180^\circ - \alpha[/tex]

За [tex]\triangle ABD[/tex] , косинусова теорема [tex]\Rightarrow BD^2=9x^2+9x^2-18x^2.cos \alpha[/tex]

За [tex]\triangle BCD[/tex] , косинусова теорема [tex]\Rightarrow BD^2=16x^2+4x^2+16x^2 cos \alpha[/tex]

[tex]\Rightarrow cos \alpha -\frac{1}{17} \Rightarrow sin \alpha =\frac{12\sqrt{2}}{17} \Rightarrow BD^2=(18+\frac{18}{17})x^2=\frac{324}{17}x^2[/tex]

За [tex]\triangle ABD[/tex] , синусова теорема [tex]\frac{BD}{sin \alpha}=2R \Rightarrow BD=4\frac{12\sqrt{2}}{17} \Rightarrow BD^2=\frac{4608}{289}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{4608}{289}=\frac{324}{17}x^2 \Rightarrow x^2=\frac{128}{153}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{(AB.AD+BC.CD)sin \alpha}{2}=\frac{17x^2.\frac{12\sqrt{2}}{17}}{2}=6\sqrt{2}x^2=\frac{256\sqrt{2}}{51}[/tex]

[S.B.]

Ако беше даден периметъра на четриъгълника,щях да тълкувам че отношението е между страните му.
Всъщност условието на задaчата не е определено достатъчно добре наистина и къде ли е "СТЕНАТА НА СРАМА" на KOPMOPAH...

[pal702004]

По-слабо известните формули за вписан четириъгълник,

$R=\dfrac 1 4 \sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

и

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

потвърждават решението на math10. (Ако отношенията са между страните)

[Гост]

Относно тълкуванията в матемтиката , за повечето неща си има символи , а там където няма стандартен символ трябва да има съответното допълнително обяснение.
Ако условието е зададено така:[tex]\stackrel{\frown}{AB} :\stackrel{\frown}{BC} :\stackrel{\frown}{CD} :\stackrel{\frown}{DA} =4:3:2:3[/tex] ,или пък с допълнително обяснение е казано:
"Дъгите определени от точките [tex]A,B,C,D[/tex] се отнасят [tex]AB:BC:CD:DA=4:3:2:3[/tex]."Тогава следва да разглеждаме дадените дъги.Ако това не е описано следва [tex]AB,BC,CD,DA[/tex] да са отсечки.

[Гост]

ето, направих снимка и на условието - става въпрос за 11-та задача
можете да го намерите и вие, задачата е от Великденското мат. състезание през 2019 за 12 клас
дадено е отношение на страните, а посоченият отговор е 4+2 корен от 3, което може да се получи само ако даденото отношение е за дъги