Факториел и делимости

[georgi111]

Да се намери най-голямата възможна стойност на [tex]x+y[/tex], където [tex]x,y[/tex] са естествени числа и [tex]\frac {30!}{36^x + 25^y}[/tex] е естествено число. (2018 Cayley Contest #22)

[pal702004]

Аз мисля, че не съществуват такива естествени $x,y$. Все пак $6^{2x}+5^{2y}$, като сбор на два взаимнопрости квадрата, няма прости делители от вида $4k+3$. Освен това не се дели и на $2,3,5$. Не трябва да има прости делители, по-големи от $29$. Така че остава всичките му делители да са степени на $13,17,29$ (при това 17 и 29- не по-голяма от 1-ва, а за 13- не по-голяма от втора, защото това са максимлните им степени в $30!$) Като добавим и това, че $6^{2x}+5^{2y}$ не се дели на $29$ остава да проверим само

$6^{2x}+5^{2y}=\{13^2,13\cdot 17,13^2\cdot 17 \}$

А, като се вземе предвид, че лявата страна е $1 \pmod 6$, a $13 \equiv 1 \pmod 6,\; 17 \equiv -1 \pmod 6$ оства само

$6^{2x}+5^{2y}=13^2$

Ами няма решение.

[Davids]

Освен ако, разбира се, дефиницията ни за "естествено число" позволява и 0. В такъв случай, ако са правилни разсъжденията ти, все пак най-голямата двойка би била $(0, 0)$
Ще се зачитам тепърва в представените размисли, защото и аз я мъчих.

[georgi111]

Подобно разсъждавах и аз на pal702004 и стигам до неговите изводи - (0,0) - видя ми се странно като извод (изключвам това дали нулата е естествено или не е)

[Davids]

...Като добавим и това, че $6^{2x}+5^{2y}$ не се дели на $29$...

Единствено това не разбрах защо е очевидно, ако може едно малко разяснение

[pal702004]

Единствено това не разбрах защо е очевидно, ако може едно малко разяснение

О, не е очевидно, проверих си ги. Степените на 25, както и тези на 36 дават следните остатъци по модул 29:
1,7,20,24,23,16,25. И сбора на никои две от тях не е 29. Иначе не е проблем и 29 да се провери като възможност, няма много да се увеличат проверките.

Ако нулите са разрешени, то и $(0,1)$ е решение, все пак $26<30$

[Illuzion]

Аз мисля, че не съществуват такива естествени $x,y$. Все пак $6^{2x}+5^{2y}$, като сбор на два взаимнопрости квадрата, няма прости делители от вида $4k+3$. Освен това не се дели и на $2,3,5$. Не трябва да има прости делители, по-големи от $29$. Така че остава всичките му делители да са степени на $13,17,29$ (при това 17 и 29- не по-голяма от 1-ва, а за 13- не по-голяма от втора, защото това са максимлните им степени в $30!$) Като добавим и това, че $6^{2x}+5^{2y}$ не се дели на $29$ остава да проверим само

$6^{2x}+5^{2y}=\{13^2,13\cdot 17,13^2\cdot 17 \}$

А, като се вземе предвид, че лявата страна е $1 \pmod 6$, a $13 \equiv 1 \pmod 6,\; 17 \equiv -1 \pmod 6$ оства само

$6^{2x}+5^{2y}=13^2$

Ами няма решение.

И аз получих нещо подобно, ама мислех, че съм объркал, и щях да я решавам после. Мерси за спестените сметки.