Малко броене

[georgi111]

За целите числа $a$, $b$, $c$ и $d$, нека $f(x) = x^2 + ax + b$ и $g(x) = x^2 + cx + d$. Да се намери броят на наредените тройки $(a,b,c)$ от цели числа със абсолютни стойности не надвишаващи $10$, за които съществува цяло число $d$, такова, че $g(f(2)) = g(f(4)) = 0$.

[Гост]

[tex](0, -10, 0) ; (-1,-7,0) ; (-2, -4, 0) ;(-3,-1,0) ; (-4,2,0); (-5,5,0) ; (-6,8,0)[/tex]
[tex](-6,10,4);(-6,9,2);(-6,7,-2);(-6,6, -4); (-6,5 ,-6);(-6,4,8); (-6,3,-10)[/tex]

[georgi111]

Повечко са

[Гост]

[tex](0, -10, 0) ; (-1,-7,0) ; (-2, -4, 0) ;(-3,-1,0) ; (-4,2,0); (-5,5,0) ; (-6,8,0)[/tex]
[tex](-6,10,4);(-6,9,2);(-6,7,-2);(-6,6, -4); (-6,5 ,-6);(-6,4,-8); (-6,3,-10)[/tex]

[georgi111]

Ще го кажа така - доста повечко са като бройка

[pal702004]

Колко да са повечко...77?

[pal702004]

$f(2)$ и $f(4)$ са нулите на $g$, тоест, по Виет

$f(2)+f(4)=-c$ и $f(2)f(4)=d$

Само на първото имаме ограничения в резултата, т.е $20+6a+2b \in [-10;10]$

$10+b+3a \in [-5;5]$

$b+3a \in [-15;-5]$

Решения при ограниченията има при $a\in [-8;1]$. Които, ако не съм объркал нещо са $77$

[Illuzion]

За втори път качвам грешно решение...

[Illuzion]

Качвам го трети път, моля някой да посочи грешката, ако има такава:

Ако $f(2)=f(4),$ то $a=-6, f(2)=f(4)=b-8$ и значи трябва $(b-8)^2+c(b-8)+d=0$. Ясно е, че за всеки избор на $(b, c)$ числото $d$ е цяло (и съществува ), тоест е необходимо да видим по колко начина можем да изберем $(b, c)\in \mathbb{Z}$ с $|b|,|c| \leq 10$. Броят на начините е точно $21\cdot 21=441$.

Ако $f(2)\neq f(4),$ то $f(2)$ и $f(4)$ са корените на $g(x)$ и значи $-c=f(2)+f(4)=20+6a+2b$ и отново числото $$d=f(2)\cdot f(4)=(4+2a+b)\cdot (16+4a+b)$$ е цяло (и съществува). Да отбележим, че $c$ е четно и нека $c=-2c_1$, като $|c_1|\leq 5$. Така остава да преброим тройките $(a, b, c_1)$, за които $$c_1=10+3a+b$$. Можем да изпишем всички възможности на ръка и ако не съм объркал нещо, техният брой трябва да е $69$ (изключваме тези с $a=-6$, понеже сме ги броили по-горе).

Окончателно, търсеният брой е $441+69=510$.

[pal702004]

Не виждам грешка, Illuzion. Грешката е при мен, случая $f(2)=f(4)$ е особен и трябва да се разглежда отделно. Аз приех, че те са двата корена на $g$ (дори и да са равни). Но те могат да са единият, а другият да е съвсем различен.

[georgi111]

510 е отговора да

[Гост]

Може ли малко обяснение (като за прост човек!)? Аз малко нещо не разбирам условието на задачата. Нали е казано, че числата a, b и c са дадени? Как така да се намери броя? Какво се търси? За всяка тройка (a,b,c), отговаряща на условието |a|≤10, |b|≤10, |c|≤10, да се намери броя а числата d? Така ли?

Разрешено ли е да се ползва компютър?

[georgi111]

Дадени са , но са променливи както сам отбелязваш