Да се пресметне верижната дроб

[georgi111]

Да се пресметне верижната дроб: ${\sqrt[8]{3842-{\cfrac {1}{3842-{\cfrac {1}{3842-{\cfrac {1}{3842-{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}$

[Добромир Глухаров]

$\sqrt{4+\sqrt{15}}$

[Гост]

$\sqrt{4+\sqrt{15}}$

Как?

[Добромир Глухаров]

$x=3842-\frac{1}{3842-\frac{1}{3842-\frac{1}{...}}}\Rightarrow x=3842-\frac{1}{x}\Rightarrow x^2-3842x+1=0\Rightarrow x=1921\pm496\sqrt{15}$

Верижна дроб.png (4.72 KiB) Прегледано 595 пъти

От схематичната графика се вижда, че сходимост на рекурентната зависимост $x=3842-\frac{1}{x}$ имаме към $x=1921+496\sqrt{15}$, a $\sqrt[8]{x}=\sqrt{4+\sqrt{15}}$

[georgi111]

Ето го моето решение:
Верижната дроб от подкоренната величина е равна на границата на редицата $\{a_n\}_{n=1}^\infty$, определена чрез равенствата $1) a_0=3842, 2)a_{n+1}=3842 - \frac {1}{a_n}$. Последната редичка е сходяща , защото лесно се вижда по индукция, че: 1) $3842 \lt a_n \lt 3843$ за всяко $n$ и 2) $a_{n+1} - a_n = \frac {a_n - a_{n+1}}{a_n.a_{n+1}}$, откъдето виждаме, че е и намаляваща. Тогава нейната граница А е по-големият корен на уравнението $x=3842 - \frac {1}{x}$, или на уравнението $x^2 - 3842x + 1 = 0$ защото имаме : $A \ge 3842 \gt 1$. Остава да пресметнем $\sqrt[8]{A}$. Нека да отбележим, че ако $x_1, x_2$ са корените на квадратното уравнение $x^2 - \alpha.x + 1 = 0$, то имаме съответно :
$\sqrt{x_1}.\sqrt{x_2}=1$ и $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2}=\sqrt{x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1.x_2}}= \sqrt{\alpha + 2}$. Така установихме, че $\sqrt{x_1}, \sqrt{x_2}$ са корените на квадратното уравнеиие $x^2 -\sqrt{\alpha+2}x + 1 = 0$. Както по-горе имаме $\sqrt{A}$ е по-големият корен на уравнението: $x^2 - \sqrt{3842+2}x + 1= x^2 - 62x + 1 = 0$. Аналогично с горните разсъждения имаме, че $\sqrt[4]{A}= \sqrt{\sqrt{A}}$ е по-големият корен на уравнението : $x^2 - \sqrt{62+2}x + 1 = x^2 - 8.x + 1 = 0$. Накрая $\sqrt[8]{A}= \sqrt{\sqrt[4]{A}}$ е по-големият корен на уравнението : $x^2 - \sqrt{8+2}x + 1 = x^2 -\sqrt{10}x + 1 = 0$. Следователно $\sqrt[8]{A} = \frac {\sqrt{10} + \sqrt{6}} {2}$.

[georgi111]

На Добромир Глухаров отговора е същия с моя, само дето ги дели една формула за сложния радикал (колко па да е сложен този "сложен" радикал) : $\sqrt{a + \sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$