Система уравнения в реални числа

[ins-]

Да се реши системата:
4x² + 8y² + 2z² + 18xy + 8yz + 9zx = 49(x + 1)
2x² + 4y² + 8z² + 9xy + 18yz + 8zx = 49(y + 1)
8x² + 2y² + 4z² + 8xy + 9yz + 18zx = 49(z + 1).

[georgi111]

"Хващаме" например първото уравнение в системата и го преобразуваме леко:
$2(2y+z)^2 + 9x(2y+z) + 4x^2=49(x+1)$ , което е еквивалентно с : $(2y+z+4x)(4y+2z+x)=49(x+1)$

[ins-]

Със софтуер и на мен ми дойде това като идея. После се замислих за деление на уравненията, но така и не довърших решението. Задачата не е измислена от мен, но ми се стори интересна.

[georgi111]

Системата добива вида :[tex]\begin{array}{|l} ((2y+z)+4x)(2(2y+z)+x)=49(x+1) \\ ((2z+x)+4y)(2(2z+x)+y)=49(y+1) \\ ((2x+y)+4z)(2(2x+y)+z)=49(z+1) \end{array}[/tex]. После полагаме [tex]\begin{array}{|l} x + y = a \\ y +z = b \\ z + x =c \end{array}[/tex] и получаваме еквивалентната система : [tex]\begin{array}{|l} (5a+3c-b)(3a+5b-c)=98(a+c-b +2) \\ (5b+3a-c)(3b+5c-a)=98(a+b-c+2) \\ (5c+3b-a)(3c+5а-b)=98(b+c-a+2) \end{array}[/tex]

[Гост]

След деление на уравненията се получават полиноми, които се разлагат на линейни изрази.

[georgi111]

Знаем Изчакваме и другите и ако никой не продължи, ще го пусна довършването