Призма, Пирамида.Може ли помощ?

[Петя45]

1.Височината на правилна триъгълна призма е равна на h.Права, минаваща през центъра на горната основа и средата на ръб от долната основа, сключва ъгъл 60градуса с тази основа.Лицето на околната повърхнина на призмата е:
2.Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб, равен на 4корен2, и апотема, равна на корен17.На колко сантиметра е равен радиусът на вписаната окръжност в триъгълника, определен от два срещуположни околни ръба на пирамидата?

[mail_dinko]

Зад. 1.:
[tex]OO_1 = h[/tex]
[tex]\angle O_1 O M = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\angle OM O _1 = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle O O_1 M = 30 ^\circ[/tex]
Основата на призмата е равностранен тригълник. Центърът на основата съвпада с медицентърът. От тук [tex]OM = \frac {CM}{3} \Rightarrow CM = 3 OM[/tex]
[tex]cotg \angle OM O_1 = \frac {OM}{OO_1} \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{3} = \frac {OM}{h} \Rightarrow OM = \frac {\sqrt {3}}{3}h[/tex]
[tex]CM = \sqrt {3}[/tex]
В равностранния триъгълник ABC, височина, симетрала и ъглополовяща съвпадат
[tex]cos 30 ^\circ = \frac {CM}{CA} \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{2} = \frac {\sqrt {3}}{CA}[/tex]
[tex]CA = 2 \Rightarrow P = 6[/tex]
Околната повърхнина е равна на S=6h

Зад. 2.:
Равнобедрен триъгълник BCM
[tex]KC = \frac 12 CM = 2 \sqrt {2}[/tex]
[tex]MK = \sqrt {17}[/tex]
[tex]\angle MKC = 90 ^\circ[/tex] - триъгълник MKC е правоъгълен
[tex]MC = \sqrt {17+ 8 } = 5[/tex]
[tex]\triangle ABC : \angle ABC = 90 ^circ[/tex]
[tex]AC = \sqrt {2. (4 \sqrt {2})^2} \Rightarrow AC =8[/tex]
[tex]S = pr \Rightarrow r = \frac {S}{p}= \frac {\sqrt {p(p-AM)^2(p-AC)}}{\frac {P}{2}}= \frac {\sqrt {9(9-5)^2(9-8)}}{\frac {5+5+8}{2}}= \frac {3.4}{9} = \frac {4}{3}[/tex]

[S.B.]

1.Височината на правилна триъгълна призма е равна на h.Права, минаваща през центъра на горната основа и средата на ръб от долната основа, сключва ъгъл 60градуса с тази основа.Лицето на околната повърхнина на призмата е:
2.Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб, равен на 4корен2, и апотема, равна на корен17.На колко сантиметра е равен радиусът на вписаната окръжност в триъгълника, определен от два срещуположни околни ръба на пирамидата?

Без заглавие - 2021-04-29T091101.366.png (464.58 KiB) Прегледано 655 пъти

И още един поглед върху задачите

1.Задача
Центърът на горната основа е медицентъра на [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] и се проектира върху медицентъра т.$M$ на долната основа.
Ако $AB = a$ , то за медианата $AP$ от [tex]\triangle ABP \rightarrow \frac{AP}{a} = sin60 ^\circ \Rightarrow AP = \frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]MP = \frac{1}{3}AP \Rightarrow MP = \frac{a \sqrt{3} }{6}[/tex]
От [tex]\triangle MP M_{1 } \rightarrow \frac{MP}{M M_{1 } } = cotg60 ^\circ \Leftrightarrow \frac{MP}{h} = \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow MP = h \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]
От [tex]\begin{cases} MP = \displaystyle\frac{a \sqrt{3} }{6} \\ MP = h \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{3} \end{cases} \Rightarrow a = 2h[/tex]
[tex]S_{околна } = P.h \Leftrightarrow S_{околна } = 3.2h.h \Rightarrow[/tex]
$$S_{околна } = 6 h^{2} $$

2.Задача
$AC$ е диагонал на квадрата $ABCD$,където [tex]AB = 4\sqrt{2} \Rightarrow AC = 4 \sqrt{2}. \sqrt{2} \Rightarrow AC= 8[/tex]

$MH$ - височина на пирамидата,[tex]H\in AC \Rightarrow AH = HC = 4[/tex]

От [tex]\triangle PCM \rightarrow MP = \sqrt{17},PC = 2 \sqrt{2} \Rightarrow MC = 5[/tex] (по Питагорова теорема)

От [tex]\triangle HCM \rightarrow HC = 4, CM = 5 \Rightarrow MH = 3[/tex] (Питагорова теорема)

[tex]S_{ \triangle ACM } = \frac{AC.CH}{2} = \frac{8.3}{2} \Rightarrow S_{ \triangle AMC} = 12[/tex]

[tex]S_{ \triangle AMC} = p.r = 9r[/tex]

От [tex]\begin{cases} S_{ \triangle AMC} = 12 \\ S_{ \triangle AMC} = 9r \end{cases} \Rightarrow 9r = 12 \Rightarrow[/tex]
$$ r = \frac{4}{3}$$

[mail_dinko]

Зад. 1.:
[tex]cotg \angle OM O_1 = \frac {OM}{OO_1} \Leftrightarrow \frac {\sqrt {3}}{3} = \frac {OM}{h} \Rightarrow OM = \frac {\sqrt {3}}{3}h[/tex]
[tex]CM = \sqrt {3} h[/tex]
В равностранния триъгълник ABC, височина, симетрала и ъглополовяща съвпадат
[tex]cos 30 ^\circ = \frac {CM}{CA} \Leftrightarrow \frac {\cancel { \sqrt {3} }}{2} = \frac {\cancel { \sqrt {3}} h}{CA}[/tex]
[tex]CA = 2h \Rightarrow P = 6 h[/tex]
Околната повърхнина е равна на [tex]S=6h^2[/tex]