уравнение от прости числа равно на точен квадрат

[turtlefox]

Да се намерят всички прости числа $p$ така, че $p^3 - 4p + 9$ да е точен квадрат.

[turtlefox]

[tex]p^3 - 4p + 9 = n^2 \\
p^3 - 4p = n^2 - 9 \\
p(p^2 - 4) = (n - 3)(n + 3) \\
p(p - 2)(p + 2) = (n - 3)(n + 3)[/tex]
Също от началното уравнение се вижда, че $n^2 \equiv 9 \pmod p \implies n \equiv \pm 3 \pmod p$
т.е. $n = kp \pm 3$. От тук заместваме и става
$(p - 2)(p + 2) = k(kp + 6)$
или
$(p - 2)(p + 2) = k(kp - 6)$
По mod p се вижда, че p = 2 или 3, но накрая се стига до $p \mid n - 3$ и от там се загубих...

[ptj]

Обикновено на състезания дават задачи с краен брой решения (или без решения).
Затова е добре когато срешнеш подобна задача първо да направиш няколко бързи проверки с цел изграждане на правдоподобна хипотеза, т.е. какво ще се стремиш да докажеш.

След проверка виждаш, че решение е [tex]p=2,n=3[/tex].

Въпроса е може ли то да е единствено?

Ако отговора е "да" , то в разлагането, което си намерил [tex]p(p-2)(p+2)=(n-3)(n+3)[/tex], отляво и отдясно трябва да има по един множител равен на нула.

Много лесно: самото решение ни подсказва, че вероятно [tex]p^3-4p+9\equiv 0 \pmod 3[/tex].

Наистина [tex]p^3-4p+9=p^3-p-3(p+3)=(p-1)p(p+1)+3(p+3)[/tex] се дели на 3, сл. [tex]n=3k; k \in N[/tex].

[tex]p(p-2)(p+2)=(3k-3)(3k+3)=9(k-1)(k+1)[/tex]

Отляво на последното равенство са 3 члена на аритметична прогресия с разлика 2, а отдясно две от числата са с разлика 2.
Затова е възможно да търсим решения, когато и отдясно са 3 члена на аритметична прогресия с разлика 2:

(*) 9 не е просто число затова остават два варианта:

1.) При [tex]p+2=9 \Leftrightarrow p=7, k=6 \Leftrightarrow p=7,n=18[/tex].

2.) При [tex]p-2=9 \Leftrightarrow p=11, k=8 \Leftrightarrow p=11,n=24[/tex].

Въпроса е дали отдясно можем направи друго разлагане и да получим 3 члена на аритметична прогресия с частно 2?

Ако имаме [tex]аx[/tex] и [tex]аx+2[/tex] и ги разделим на [tex]а[/tex], ще получим [tex]x[/tex] и [tex]x+ \frac{2}{a}[/tex].
Съответно [tex]\frac{2}{a}=2[/tex] само при [tex]а=1[/tex]. Т.е. не може да разделим едновременно [tex](k-1)[/tex] и (k+1) с каквито и да е естесвени различни от 1 и да получим отново две естествени с разлика 2.

Ако разделим само едното: Примерно [tex]k-1=ax[/tex].


Единия варинат е да получим 3x,ax+2 и 3а. Разликата между първото и третото се дели на 3 и не може да е нито 2 нито 4, т.е. отпада.
Другия вариант: [tex]9x, ax+2, a[/tex].
а.) [tex]x \ge 2[/tex] няма решение
б.) [tex]x=1[/tex] получаваме (*), т,е. същите решения.

Третия случай е аналогичен на втория: Получаваме решение при прогресия [tex]9x, аx-2,a[/tex].

ОКончателно решенията са 3 :
[tex]p=2,n=3[/tex]
[tex]p=7,n=18[/tex]
[tex]p=11, n=24[/tex]

[pal702004]

От тук заместваме и става
$(p - 2)(p + 2) = k(kp + 6)$
или
$(p - 2)(p + 2) = k(kp - 6)$

което бързо ограничава решенията, За първото:

$p^2-k^2p-(6k+4)=0$

$D=k^4+4(6k+4)$ трябва да е точен квадрат, но

$(k^2)^2<D<(k^2+2)^2 \;\; \forall k>3+2\sqrt 3$

тоест, дискриминантата се намира между съседни (нечени) квадрати и не може да е нечетен квадрат. Или, решения може да има само при $k\in \{1,3,5\}$

С проверка се установява, че в този случай решение е $k=3$

При второто уравнение ограничението е аналогично.
(Отговорите на ptj са верни)