Нова любопитна геометрия

[georgi111]

185455878_10224123739421884_5551851925125878284_n.jpg (22.13 KiB) Прегледано 779 пъти

[Гост]

пусни решение

[georgi111]

Нямам такова за момента ... И на мястото, от където я взех все още няма ...

[Гост]

theta.PNG (133.4 KiB) Прегледано 698 пъти

може би може нещо да стане с комплексни числа...
ако се фиксира [tex]b=x+iy \Rightarrow c=-x+iy=-(x-iy)=- \overline{b}[/tex]
аналогично [tex]c'=- \overline{a}[/tex]

[drago]

Решението по-долу е на Александър Иванов. Много интересна идея - приложение на теоремата на Паскал. Извинявам се за чертежа, нямам време да го преработвам на Geogebra или друго. Малко са разменени означенията в сравнение с оригиналната картинка

$ABC$ е дадения триъгълник с $\angle A=\alpha, \angle B=\beta, \angle C=\gamma.$ Точка $D$ е такава че $\angle DAC=\angle DBC=\angle ACB=\gamma.$ Нарисуваната окръжност $k$ е тази описана около $\triangle ABC$ и т. $O$ е нейния център. Точка $I$ е центъра на вписаната в $\triangle ABC$ окръжност, а т. $J$ е центъра на тази вписана в $\triangle ABD$. Нека ъглополоващите $AI$ и $BI$ на ъглите $\angle CAB$ и $\angle ABC$ пресичат $k$ съответно в точки $A_1$ и $B_1,$ а ъглополовящите на $\angle BAD$ и $\angle ABD$ пресичат $k$ в т. $A_2$ и $B_2.$ Тогава
$$\widehat{CA_1}=\alpha\,;\,\widehat{AB_2}=2(\gamma -\beta )/2=\gamma -\beta\,;\, \widehat{AC}=2\beta$$
и получаваме
$$\widehat{A_1CB_2}=\widehat{AB_2}+\widehat{AC}+ \widehat{CA_1}=\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}.$$
т.е. $A_1B_2$ е диаметър на $k.$ По аналогичен начин се получава, че $B_1A_2$ също е диаметър на $k$ и значи тези две прави се пресичат в центъра на $k$ т.е. в т. $О.$
Сега разглеждаме шестоъгълника $AA_1B_2BB_1A_2,$ който е вписан в окръжността $k.$ По теоремата на Паскал имаме че точките $I=AA_1\cap BB_1, J=B_2B\cap A_2A$ и $O=A_1B_2\cap B_1A_2$ лежат на една права.