Пътници в автобус

[ins-]

Една автобусна линия има 11 спирки, включително началната и крайната. На началната спирка в автобуса се качили 10 пътници, а на всяка следваща (без крайната) общият брой на слизащите и качващите се бил точно 10. Всеки пътник пътувал най-много 5 спирки (т.е. ако се е качил на спирка Н, то е пътувал най-много до спирка Н+5). Известно е, че по време на целия маршрут автобусът не е оставал празен. Да се намери възможно най-големият брой пътници, които са пътували едновременно в автобуса.

[Гост]

от немско състезание ли е туй?

[ins-]

От начален кръг на българска олимпиада е. Вече там откъде са я взели - нямам идея.

[Гост]

интересно ми беше що си означил спирката с H-има ли причина?

[ins-]

Условието е почти 1:1 с даденото на самото състезание. Ако пусна решението, което имам няма да ми се налага да променям означения. Това е причината за подобно означение.

[Гост]

значи сам случайно си я означил така? или така са я означили в тяхното решение/условие?

[ins-]

В тяхното решение и условие е означена така. Не съм променял означения.

[pal702004]

Аз ли не разбирам добре условието, или...В края на краищата, ако максумума се достига между спирки $k$ и $k+1$, то там могат да се намират само пътници, качили се от спирки $k,k-1,k-2,k-3,k-4$ Пътници, качили се от спирка $k-5$ и по-рано, трябва до тогава да са слезли. Значи, не може да има повече от 50 пътника, понеже на тези спирки по условие могат да се качат не повече от 10 човека. И този максимум се достига, ако до 5-та спирка вкл. автобуса само се пълни (50 човека), а от 6-та нататък слизат по 10. Точно на 11-та спирка слизат последните 10.
Друг е въпроса, ако спирките бяха повече от 11.

А, видях си грешката - така последните ще слязат на 10-та спирка (объркал съм се, че слизат на 11-та) и няма да е изпълнено условието автобуса да не пътува празен.

[pal702004]

Ами като не можем да докараме максимума 50 (а дали не можем?), ще трябва да се задоволим със следващото - 48 (броя на пътниците винаги е четен).
да речем на 5-та спирка няма да се качат 10, а 9 и един (от първите) ще слезе. Тези девет ще слязат на 10-та спирка и един ще се качи, т.е., няма да е празен до 11-та спирка.

[ins-]

Аз след 5-та спирка се "губя". Не ми е ясно защо броят на пътниците на всяка спирка се променя с четно число. Мисля, че задачата не е лека за общински / стар 2-ри, сегашен 1-ви / кръг на НОМ.

Това е официалното решение:

Скрит текст: покажи

Нека Х(н) е броят на пътниците, пътували между спирките Н и Н+1. Очевидно максималната стойност на Х(Н) е 5.10=50, тъй като един пътник пътува не повече от 5 спирки. (1 т.)Единствената възможност да се реализира това е при Н=5. Наистина, ако това е възможно при Н>5, то на спирка Н–4 автобусът би трябвало да е празен и след това да има пет качвания на 10 пътника. Нека Х(Н)=50. Тогава на всяка спирка от шестата до десетата трябва да слизат по 10 пътника и от десетата до единадесетата автобусът ще е празен, което противоречи на условието. (1 т.) От друга страна Х(Н) е четно число – х+р–(10–р)=х+2р–10, което означава, че броят на пътниците на дадена спирка се променя с четно число и тъй като в началото е бил четен брой, то Х(Н) е четно число, по-малко от 48. (1 т.)Това може да се реализира така: сп. 1 – качват се А1,А1,А3,А4,А5,А6,А7,А8,А9,А10, Х(Н)=10; сп. 2 – качват се В1,В2,В3,В4,В5,В6,В7,В8,В9,В10, Х(Н)=20; сп. 3 – качват се С1,С2,С3,С4,С5,С6,С7,С8,С9,С10, Х(Н)=30; сп. 4– качват се К1,К2,К3,К4,К5,К6,К7,К8,К9,К10, Х(Н)=40; сп. 5 – качват се Е1,Е2,Е3,Е4,Е5,Е6,Е7,Е8,Е9, слиза А10, Х(Н)=48; сп. 6 – качва се М1, слизат А1,А1,А3,А4,А5,А6,А7,А8,А9, Х(Н)=40; на сп. 7, 8 и 9 – не се качват, слизат съответно качилите се на сп. 2, 3 и 4; сп. 10 – качва се един и слизат качилите се на спирка 5 – остават 2 пътници. (2 т.)