кубично уравнение и неравенство

[martin123456]

Нека [tex]f(x)=x^3+x+1[/tex] с корени [tex]x_{1,2,3}[/tex]. Докажете, че [tex](x_1^p-1)(x_2^p-1)(x_3^p-1) \geq 3[/tex], където [tex]p \in \mathbb{P}[/tex] и [tex]p \ne 2,3[/tex].

[nevrodermit]

Тази задача не ми изглежда вярна.
Написах си програма, която да пресмята Нютоновите суми за полиномите [tex]p(x)=x^3+x+1[/tex] и [tex]q(x)=x^3-x^2-1[/tex]. Пресмятам за тях, понеже [tex]x_1x_2, x_2x_3, x_3x_1[/tex] са корени на [tex]q(x)[/tex].
Изразът в условието е еквивалентен на [tex]\sum_{cyc}{x_1^p}-\sum_{cyc}{x_1^px_2^p}\ge 5[/tex].
От програмата се вижда, че още за [tex]p=5[/tex] лявата страна е [tex]5-6=-1[/tex].