Общински кръг по математика при ОМГ, Пловдив

[Какаши Сенсей]

задача 2.
Даден е триъгълник АВС, който е равнобедрен. Ъглополовящата при ъгъл ABC пресича АС в точка L. От точка L се издига перпендиколяр към ъглополовящата и пресича
правата на АВ в точка P. Ако AP = n и АВ = m, то намерете лицето на тригълника АВС.

[Гост]

Мисля, че би помогнало през C да построиш права, перпендикулярна на CL. Получава се равнобедрен триъгълник и много отношения (подобни триъгълници).

[Гост]

Триъгълникът излиза че е равностранен със страна m.

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВС-равнобедрен
АС= ВС , или АВ= АС ?

[123a]

Нека прекараме права през точките $P$ и $L$ и нека тя пресича $BC$ в точката $D$
[tex]\triangle BPD[/tex] е равнобедрен (защо???) [tex]\Rightarrow BD=m+n[/tex]

От теоремата на Менелай за [tex]\triangle ABC[/tex] и правата $PD$ [tex]\frac{BP}{AP}. \frac{AL}{CL}. \frac{CD}{BD}=1[/tex]

Но от свойството на ъглополовящата имаме [tex]\frac{AL}{CL}= \frac{AB}{BC}= \frac{m}{m+n+CD}[/tex]
Заместваме в Теоремата на Менелай и получаваме

[tex]\frac{n+m}{n}. \frac{m}{m+n+CD}. \frac{CD}{n+m}=1[/tex]

$CD=\frac{ mn+n^2 }{m-n}$

$BC=BD+CD=m+n+\frac{ mn+n^2 }{m-n}$

$BC=$[tex]\frac{m^2-n^2+mn-n^2}{m-n}[/tex]

[tex]BC= \frac{m(m+n)}{m-n}[/tex]

Нататък е ясно

[vezni]

Нека прекараме права през точките $P$ и $L$ и нека тя пресича $BC$ в точката $D$
[tex]\triangle BPD[/tex] е равнобедрен (защо???) [tex]\Rightarrow BD=m+n[/tex]

От теоремата на Менелай за [tex]\triangle ABC[/tex] и правата $PD$ [tex]\frac{BP}{AP}. \frac{AL}{CL}. \frac{CD}{BD}=1[/tex]

Но от свойството на ъглополовящата имаме [tex]\frac{AL}{CL}= \frac{AB}{BC}= \frac{m}{m+n+CD}[/tex]
Заместваме в Теоремата на Менелай и получаваме

Добро решение, обаче в задачата има случаи (освен ако няма нещо пропуснато в цитираното условие?). Твоето е единият случай, при който $\angle BAC>60^{\circ}$ и точка $P$ е върху продължението на AB и съответно D е върху страната $BC$. Другият случай е когато $\angle BAC \le 60^{\circ}$, $P$ е върху страната $AB$ и $D$ е върху продължението на $BC$. Естествено, решението е аналогично.

[ins-]

За кой клас е тази задача? Какви са били останалите?

[Какаши Сенсей]

За кой клас е тази задача? Какви са били останалите?

Това е за 11 клас, задача 2. Задача първа беше елементарна .Задача трета съдържаше стериометрия и вектори. Но за съжеление не мога да си спомня цялото условие.