Брой инективни функции

[Гост]

Дадени са естествени числа n<m. Да се намери броят на всички инективни функции от {1,2,..., n} към {1,2,...,m}, такива че за всяко непразно подмножество А на {1,2,...,n}, образа на А не е А.
ЗМС 2022 10.4

[drago]

Текстът, така както е даден на състезанието, е следния:

(ЗМС 2022, задача 10.4.) Дадени са естествените числа $m<n$. Да се намери броя на различните инективни функции $f:\{1,2,\dots,m\}\to\{1,2,\dots,n\}$ такива, че за всяко непразно подмножество $A\subseteq\{1,2,\dots,m\}$, множеството от стойности $f(A)$ да не съвпада с $A$ ($f(A)\neq A$).

Задачата е на Александър Иванов и както се оказа доста е затруднила участниците. Решения и коментари могат да се видят в AoPS и в този блог.