Binomial Sum

[man111]

Evaluation of [tex]\displaystyle \sum^{2n-1}_{k=1}(-1)^{k-1}\frac{k}{\binom{2n}{k}}[/tex]

[vezni]

Означаваме $s_n=\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^{k-1}\frac{k}{\binom{2n}{k}}$. След смяна на сумиращия индекс $k\mapsto 2n-k$ и използвайки
$\binom{2n}{k}=\binom{2n}{2n-k}$ и $(-1)^{2n-k-1}=(-1)^{2n-2k}(-1)^{k-1}=(-1)^{k-1}$, получаваме
$s_n=\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^{k-1}\frac{2n-k}{\binom{2n}{k}}=2n\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{(-1)^{k-1}}{\binom{2n}{k}}-\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^{k-1}\frac{k}{\binom{2n}{k}}=2n\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{(-1)^{k-1}}{\binom{2n}{k}}-s_n$
$\Rightarrow s_n=n\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{(-1)^{k-1}}{\binom{2n}{k}}$
Ето тук е доказано (по 2 начина), че $\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{\binom{n}{k}}=\frac{n+1}{n+2}\left(1+(-1)^n\right)$.
Оттук намираме (с внимателно заместване, знаците са наобратно) $\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{(-1)^{k-1}}{\binom{2n}{k}}=\frac{1}{n+1}$
$\Rightarrow s_n=\frac{n}{n+1}$