трудна кандидатстудентска - олимпиадна

[martin123456]

Нека [tex]p(x)=4x^3-2x^2-15x+9[/tex] и [tex]q(x)=12x^3+6x^2-7x+1[/tex].
а) Покажете, че всеки от тези полиноми има точно три различни реални корена.
б) Нека [tex]A[/tex] е най-големият корен на [tex]p(x)[/tex], а [tex]B[/tex] е най-големият корен на [tex]q(x)[/tex]. Докажете, че [tex]A^2+3B^2=4[/tex].

[nevrodermit]

а) [tex]p(-2)=15, p(-1)=18, p(\frac{3}{2})=-4.5, p(2)=3[/tex], значи има корени в интервалите [tex](-2,-1), (-1,1), (\frac{3}{2},2)[/tex] и тъй като е от трета степен са най - много три и значи точно три.
[tex]q(-2)=-57, q(-1)=2, q(0.25)=-0,1875, q(1)=12[/tex], значи има корени в интервалите [tex](-2,-1), (-1,0.25), (0.25,1)[/tex] и тъй
като е от трета степен са най - много три и значи точно три.
б)
От зависимостта [tex]A^2+3B^2=4\Rightarrow B=\pm \sqrt{\frac{4-A^2}{3}}[/tex]. Искаме [tex]B[/tex] да е най-големият корен на [tex]q(x)=0[/tex] и тъй като в а) получихме, че той е положителен, искаме да докажем, че се удовлетворява [tex]q( \sqrt{\frac{4-A^2}{3}})=0[/tex].
След заместване:
[tex]q( \sqrt{\frac{4-A^2}{3}})=12 \sqrt{\frac{4-A^2}{3}}.\frac{4-A^2}{3}+6.\frac{4-A^2}{3}-7\sqrt{\frac{4-A^2}{3}}+1[/tex]. Равенството [tex]q(\sqrt{\frac{4-A^2}{3}})=0[/tex] е еквивалентно на [tex]\sqrt{\frac{4-A^2}{3}}(9-4A^2)=2A^2-9[/tex]. И двете страни са отрицателни и затова можем да повдигнем на квадрат и получаваме [tex](4-A^2)(81-9.4.2A^2+16A^4)=3(4A^4+81-36A^2)\Leftrightarrow 16A^6-124A^4+261A^2-81=0 (1)[/tex].

Сега използваме, че [tex]p(A)=0\Rightarrow 4A^3=2A^2+15A-9\Rightarrow 16A^6=4A^4+225A^2+81+60A^3-270A-36A^2[/tex]. Заместваме в (1):
[tex]4A^4+225A^2+81+60A^3-270A-36A^2-124A^4+261A^2-81=0\Leftrightarrow -4A^3+2A^2+15A-9=0\Leftrightarrow p(A)=0[/tex].

Остава само, да проверим, че [tex]B= \sqrt{\frac{4-A^2}{3}}[/tex] е най-големият корен: [tex]\sqrt{\frac{4-A^2}{3}}>\frac{1}{4}\Leftrightarrow 4-A^2>\frac{3}{16}\Leftrightarrow A^2<\frac{61}{16}[/tex], което очевидно е така и че [tex]\sqrt{\frac{4-A^2}{3}}<1\Leftrightarrow 4-A^2<3\Leftrightarrow A^2>1[/tex], което пак е вярно.