Множество от взаимно прости числа

[mkmarinov]

Да се намери най-голямото n такова, че съществува множеството [tex]\{a_1, a_2, ..., a_n\}[/tex]:
1) Числата [tex]a_i[/tex] са съставни.
2) Всеки две от тези числа са взаимно прости.
3) [tex]1<a_i<(3n+1)^2[/tex]

[Hena]

Тъй като имаме ограничението [tex]a_i<(3n+1)^2[/tex],за [tex]i \in(1,2,...,n)[/tex],означава,че колкото по-малки са числата [tex]a_i[/tex],толкова по-голямо ще е числото [tex]n[/tex].Това означава,че числата [tex]a_i[/tex] трябва да са квадрати на прости числа.Следователно можем да запишем:
[tex]a_1=p_1^2[/tex]

[tex]a_2=p_2^2[/tex]
[tex].[/tex]
[tex].[/tex]
[tex].[/tex]
[tex]a_i=p_i^2[/tex]

Тогава вече имаме ограничението [tex]1<p_i<3n+1[/tex] Сега ще докажем следната лема:
Нека [tex]p_k[/tex] е [tex]k-[/tex]тото просто число.Тогава за [tex]k\ge 12 \Rightarrow p_k>3k[/tex]
Доказателство:
Нека разбием множеството на естествените числа на групи по троики:

[tex](1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),...,(34,35,36),(37,38,39)...[/tex]
и с [tex]N[/tex] да означим номера на групата.Ако N е четно число,следователно в тази група има две четни числа-първото и последното,като само последното се дели на 3,което означава,че просто число може да е само средното в тази група.Аналогично и когато е N е нечетно:само последното се дели на 3,а само средното е четно.Което означава,че просто число може да е само първото в тази група.Следователно освен в първата група,във всички останали групи броят на простите числа е 0 или 1.Сега:

[tex]p_{12}=37>3.12=36 (p_{12}-36=1)[/tex] Числото 37 е в група номер 13,следователно ако в група номер 14 има просто число,то ще е средното,следователно то ще е с 4 по-голямо от 37.И тъй като 3k се увеличава само с 3 за всеко следващо прсто число,то [tex]p_{13}=41>3.13=39(p_{13}-39=2)[/tex] Аналогично ако в група 15 има просто число,то ще е първото,което означава че [tex]p_{14}-p_{13}\ge 4[/tex],откъдето и следва,че [tex]p_14>3.14=42[/tex] С това лемата е доказано.

Тъй като търсим най-голямто n,то n=11 и съответното множество ще е:

[tex]\{4,9,25,49,121,169,289,361,529,841,961\}[/tex]

[allier]

Това е хубаво разсъждение, само че не е доказателство. Напиши формално защо трябва да са точно квадратите на първите прости числа.

[mkmarinov]

И не е напълно вярно .
За n=14:
14-тото просто число е 43. 3n+1 пак е 43.
За n=12 условието също е изпълнено.
(нищо, че за n=13 условието не е изпълнено)

А, като се замисля, вярно си ти е решението. Не съм преписал условието правилно . Последното неравенство е нестрого отдясно.

[Hena]

И не е напълно вярно .
За n=14:
14-тото просто число е 43. 3n+1 пак е 43.
За n=12 условието също е изпълнено.
(нищо, че за n=13 условието не е изпълнено)

А, като се замисля, вярно си ти е решението. Не съм преписал условието правилно . Последното неравенство е нестрого отдясно.

Според лемата,за n?12 [tex]p_n>3n \Rightarrow p_n\ge 3n+1[/tex] ,но според условието [tex]p_n<3n+1[/tex],което означава,че n?11

[mkmarinov]

Не съм преписал условието правилно . Последното неравенство е нестрого отдясно.