От кубче на Рубик(3*3*3) са се отлепили две квадратни плочки

[ins-]

От кубче на Рубик (3*3*3) са се отлепили две квадратни плочки. Каква е вероятността плочките да са:
а) едноцветни?
б) страни на едно единично кубче?

[Martin Nikovski]

а) Кубчето на Рубик се състои от 6 стени, а всяка стена - от 9 плочки с един и същи цвят (ако е подредено).
Без значение от цвета на първата отлепена плочка, вероятността втората да е със същия цвят е [tex]\frac{9-1}{9.6-1 } =\frac{8}{53 }[/tex]
б) За да е изпълнено условието, трябва първо да определим вероятността първата плочка да е стена на единично кубче, което има друга стена, също "външна" за големия куб. Има точно 6 плочки (колкото са стените на куба), които не удовлетворяват условието - това са централните плочки на всяка стена. Следователно вероятността е [tex]\frac{9.6-6}{9.6 } =\frac{8}{9 }[/tex].
[tex]9.6-6=48[/tex] от плочките участват в единични кубчета с поне още една стена-плочка. От тях [tex]24[/tex] са "ъглови" и [tex]24[/tex] са "странични". "Ъгловите" имат по 2 "съседни плочки", а "страничните" - само по една. Тъй като са равен брой, то вероятността първата отлепена плочка да е "ъглова" или "странична" е равна на [tex]\frac{\frac{8}{9 } }{2 }=\frac{4}{9 }[/tex]. Разглеждаме 2 случая:
1. Първата отлепена плочка е "ъглова". Тогава вероятността втората да е стена на единично кубче, съдържащо първата, е [tex]\frac{4}{9 }.\frac{3-1}{9.6-1 }=\frac{8}{477 }[/tex]
2. Първата отлепена плочка е "странична". Тогава вероятността втората да е стена на единично кубче, съдържащо първата, е [tex]\frac{4}{9 }.\frac{2-1}{9.6-1 }=\frac{4}{477}[/tex]
П.П. Не знам дали може да се говори за "средна" вероятност, тъй като "ъгловите" и "страничните" плочки са равен брой. Тогава "средната вероятност" би била [tex]\frac{6}{477 }[/tex]...

[ins-]

Други мнения?
За б) и двете едновременно да са страни на едно и също единично кубче исках да напиша в условието.

П.С. На моето кубче падналите плочки са едноцветни. А няма да питам каква е вероятността да ги залепя
Дано да се е получила добра задачка. Като трудност ми се струва на ниво - общински кръг.

[1089]

а) Кубчето на Рубик се състои от 6 стени, а всяка стена - от 9 плочки с един и същи цвят (ако е подредено).
Без значение от цвета на първата отлепена плочка, вероятността втората да е със същия цвят е [tex]\frac{9-1}{9.6-1 } =\frac{8}{53 }[/tex]
б) За да е изпълнено условието, трябва първо да определим вероятността първата плочка да е стена на единично кубче, което има друга стена, също "външна" за големия куб. Има точно 6 плочки (колкото са стените на куба), които не удовлетворяват условието - това са централните плочки на всяка стена. Следователно вероятността е [tex]\frac{9.6-6}{9.6 } =\frac{8}{9 }[/tex].
[tex]9.6-6=48[/tex] от плочките участват в единични кубчета с поне още една стена-плочка. От тях [tex]24[/tex] са "ъглови" и [tex]24[/tex] са "странични". "Ъгловите" имат по 2 "съседни плочки", а "страничните" - само по една. Тъй като са равен брой, то вероятността първата отлепена плочка да е "ъглова" или "странична" е равна на [tex]\frac{\frac{8}{9 } }{2 }=\frac{4}{9 }[/tex]. Разглеждаме 2 случая:
1. Първата отлепена плочка е "ъглова". Тогава вероятността втората да е стена на единично кубче, съдържащо първата, е [tex]\frac{4}{9 }.\frac{3-1}{9.6-1 }=\frac{8}{477 }[/tex]
2. Първата отлепена плочка е "странична". Тогава вероятността втората да е стена на единично кубче, съдържащо първата, е [tex]\frac{4}{9 }.\frac{2-1}{9.6-1 }=\frac{4}{477}[/tex]
П.П. Не знам дали може да се говори за "средна" вероятност, тъй като "ъгловите" и "страничните" плочки са равен брой. Тогава "средната вероятност" би била [tex]\frac{6}{477 }[/tex]...

a не трябва ли да събереш?

[loving_math]

Ако две събития са несъвместими,както в случая са отлепването на ъглова или странична плочка, то
P(A+B)=P(A)+P(B).Затова и аз смятам, че вероятностите трябва да се съберат.

[Martin Nikovski]

Да, така е... значи вероятността на б) става [tex]\frac{4}{477 } +\frac{8}{477 }=\frac{12}{477 }=\frac{4}{159 }[/tex]

[ins-]

Измислих и нова задача подобна на предходната, само че малко по-трудна:

От произволно разбъркано кубче на Рубик (3*3*3) са се отлепили две квадратни плочки. Каква е вероятността плочките да са:
а) съседни от една стена?
б) съседни, независимо от коя стена са?
в) съседни и едноцветни от една стена?
г) съседни и едноцветни, независимо от това на коя стена са?

Две квадратни плочки са съседни, ако имат обща страна.

Повече няма да измислям задачи от вероятности и кубче на Рубик, за да не отегчавам хората във форума.

[Martin Nikovski]

Да опитам ли пак аз?... Защо не...?
а) За първата отлепена плочка има три варианта:
1. Да е "централна". Тогава тя има [tex]4[/tex] съседни плочки от същата стена. Вероятността втората да е съседна, е [tex]k_1=\frac{6}{9.6 }.\frac{4}{9.6-1 }=\frac{4}{477 }[/tex] (защото "централните" плочки са [tex]6[/tex])
2. Да е "странична". Тогава тя има [tex]3[/tex] съседни плочки от същата стена. Вероятността втората да е съседна, е [tex]k_2=\frac{4.6}{9.6 }.\frac{3}{9.6-1 }=\frac{12}{477}[/tex] (защото "страничните" плочки са [tex]4.6[/tex])
3. Да е "ъглова". Тогава тя има [tex]2[/tex] съседни плочки от същата стена. Вероятността втората да е съседна, е [tex]k_3=\frac{4.6}{9.6 }.\frac{2}{9.6-1 }=\frac{8}{477 }[/tex] (защото "ъгловите" плочки са [tex]4.6[/tex]);)
Общата вероятност е [tex]k=k_1+k_2+k_3=\frac{4}{477 }+\frac{12}{477 }+\frac{8}{477 }=\frac{24}{477 }=\frac{8}{159 }[/tex]
Първо кажете вярно ли е...? Ако не е, няма смисъл да продължавам...

[ins-]

Само за статистиката още две задачи, подобни на втората задача се получават чрез промяна на дефиницията за "съседни" плочки. Например може да дефинираме съседните плочки да са такива, които имат общ ръб или такива, които имат общ ръб и стена. Ако някой се сети за по-интересни задачи от кубче на Рубик - може да ги напише, хубаво е човек да е комбинативен и да излиза от шаблоните. Кубчето на Рубик е добре изследван обект и то е едно изобретение, базиращо се на солидна математическа основа.

Ако никой не провери разсъжденията на Мартин утре ще посмятам. Жалко, че системата не ми предоставя възможност пак да му повиша рейтинга.

[ins-]

Ако и аз не греша - разсъжденията ти са коректни. Останалите какво мислят?

[L.e.o]

Задача 1:
а) Директно си излиза 8/53.
б) 3 вида плочки: 6 вътрешни + 24 ъглови + 24 странични от общо 54.
Умножавайки вер. 2рата плочка да води до положителен резултат спрямо 1вата плочка и сумирайки:
Р = 6/54 * 0 + 24/54*2/53 + 24/54*1/53 = 3.24 / 54.53 = 12/477

Мартин,
Можеш да говориш за "средна" вероятност" ако ползваш като вер. да се падне ъглова или страничка плочка р=8/9, а ти ползваш реалните им вер р1=р2=4/9 , което ще доведе до уникални вероятности, които трябва да събере, а не да осредниш.

ins-,
провай се на задачата със зарчетата, която съм задал в раздел Забавна Математика. Малко по-трудна е: viewtopic.php?f=57&t=2997

[Martin Nikovski]

L.e.o, разбрах си грешката... това, между другото, не го знаех (за събирането на вероятностите, ако събитията са несъвместими). Ето нещо, което научих от форума...
От този си пост нататък винаги съм го използвал (при небходимост).

[L.e.o]

То не ти върши много работа това - само при равновероятни събития.
Пример:
Имаш 2 зарчета. Каква е вероятността едното зарче да се падне нечетно, а другото да е по-голямо от него.

Реш.1.
Вер. да се падне нечетно е 1/2
р1:Вер. да имаме положителен вариант, ако се е паднало 1, е 1/2 * 5/6.
р2:Вер. да имаме положителен вариант, ако се е паднало 3, е 1/2 * 3/6.
р3:Вер. да имаме положителен вариант, ако се е паднало 1, е 1/2 * 1/6.
[tex]p = \overline{p}[/tex]
"Средната вероятност" е = 1/2*3/6 = 1/4 (тук не събираме).

Реш.2.
Вер да се падне 1,3 или 5 е 1/6.
р1:Вер. да имаме положителен вариант, като се е паднало 1, е 1/6 * 5/6.
р2:Вер. да имаме положителен вариант, като се е паднало 3, е 1/6 * 3/6.
р3:Вер. да имаме положителен вариант, като се е паднало 5, е 1/6 * 1/6.
[tex]p = \sum_{}^{}p_{n}[/tex]
p = 1/6 * 5/6 + 1/6 * 3/6 + 1/6 * 1/6 = 9/36 = 1/4

Не ползвай Реш.1. (вер. да сбъркаш е голяма).
Пробвай се на задачата със зарчетата. Не е лесна, но ако я разбереш, няма да имаш проблеми с много видове задачи от този тип.
Приготви се за много "зарчета", "топчета" и "монети" във 1-ви и/или 2-ри курс.

[Martin Nikovski]

Тук бих използвал Реш.2.
Ще опитам и на задачата със зарчетата... Благодаря ти, че винаги даваш задачи, които са трудни, но решиш ли ги, научаваш много...

[ins-]

Задачата със зарчетата по-трудна ли е от втората задача, която предложих?
Жалко, че не съм добър по комбинаторика и напоследък нямам време.
Ако остане ще се опитам да реша задачата със зарчетата.

[L.e.o]

Мисля, че да. Cъс сигурност трябва да се помисли повечко (не тази задача-пример със зарчета, а онази в линка със 5-те зара).