Окръжност и равни отсечки

[ins-]

circle-and-equal-segments.png (311.6 KiB) Прегледано 1505 пъти

PA и PB са допирателни към окръжността. Зелените ъгли са прави. Да се докаже, че червената и синята отсечки са равни.

[Гост]

Не е ли тривиално или изпускам нещо? <EBC=<CAD=<ABC, т.е. ABF e равнобедрен (първите два ъгъла са от EDAB вписан, вторите два от допирателната).

[S.B.]

Без заглавие - 2022-05-09T222010.956.png (235.73 KiB) Прегледано 1467 пъти

За [tex]\triangle ECB[/tex] и [tex]\triangle DCA[/tex] - правоъгълни :
[tex]\angle ECB = \angle DCA[/tex] (връхни) [tex]\Rightarrow \angle CBE = \angle CAD[/tex]
[tex]\angle CAD = \displaystyle\frac{1}{2} \overset { \displaystyle \frown}{AC}[/tex] (периферен)

[tex]\angle CBA = \displaystyle \frac{1}{2} \overset {\displaystyle \frown }{AC}[/tex] (вписан)

[tex]\begin{cases} \angle CBA = \angle CAD\\ \angle CAD = \angle CBE\end{cases} \Rightarrow \angle CBE = \angle CBA[/tex]
[tex]\triangle FDB \cong \triangle ABD[/tex] ( втори признак )
[tex]\Rightarrow FD = AD[/tex]

[ins-]

Задачата е прeопределена (не е нужно PB да е допирателна, например) и може да се реши и с подобия. Иначе, да - очевидна е, но от много време не бях измислял задача.

[Гост]

super zadacha-pusni reshenie s podobija

[Гост]

^^ DA^2=DB.DC от степен на точка, а DAC и BDF са подобни (<BFD=<ACD) , тоест DB.DC=DA.DF, готово.