function

[man111]

The number of continuous function [tex]\displaystyle g:\bigg[0,\frac{3}{2}\bigg]\rightarrow \bigg(0,\infty\bigg)[/tex]

satisfying the equation [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}g(x)dx+125\int^{\frac{3}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{g(x)+x^2}}dx=108[/tex]

[peyo]

The number of continuous function [tex]\displaystyle g:\bigg[0,\frac{3}{2}\bigg]\rightarrow \bigg(0,\infty\bigg)[/tex]

satisfying the equation [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}g(x)dx+125\int^{\frac{3}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{g(x)+x^2}}dx=108[/tex]

Каква странна задача!

С налучкване намерих, че при:
$g = 6.25 - x^2$

In [34]: g = 6.25 - x**2

In [35]: float(4*integrate(g,(x,0,3/2)) + 125*integrate(1/(sqrt(g+x**2)),(x,0,3/2)))
Out[35]: 108.00000000000001

Това не е изглежда да е решението но е някакво решение.

[Румен Симеонов]

The number of continuous function [tex]\displaystyle g:\bigg[0,\frac{3}{2}\bigg]\rightarrow \bigg(0,\infty\bigg)[/tex]

satisfying the equation [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}g(x)dx+125\int^{\frac{3}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{g(x)+x^2}}dx=108[/tex]

Пробвайте с функции от вида [tex]g(x)=-x^2+c^2x^{2\alpha}, 0<c,0<\alpha <1[/tex]. Нали при всяко [tex]\alpha[/tex] близко до и по-малко от единица ще следва, че съответното уравнение за [tex]c[/tex] от 3-та степен има решение по--голямо от 8. Следователно, така ще докажем, че има поне континуум на брой безкрайно много функции, които са решение на уравнението. Някой да потвърди, че не бъркам? Щото ме мързи да го запиша подробно цялото решение!

[grav]

The number of continuous function [tex]\displaystyle g:\bigg[0,\frac{3}{2}\bigg]\rightarrow \bigg(0,\infty\bigg)[/tex]

satisfying the equation [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}g(x)dx+125\int^{\frac{3}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{g(x)+x^2}}dx=108[/tex]

Пробвайте с функции от вида [tex]g(x)=-x^2+c^2x^{2\alpha}, 0<c,0<\alpha <1[/tex]. Нали при всяко [tex]\alpha[/tex] близко до и по-малко от единица ще следва, че съответното уравнение за [tex]c[/tex] от 3-та степен има решение по--голямо от 8. Следователно, така ще докажем, че има поне континуум на брой безкрайно много функции, които са решение на уравнението. Някой да потвърди, че не бъркам? Щото ме мързи да го запиша подробно цялото решение!

Тези не удоволетворяват условието, че стойностите са строго по-големи от нула.

[peyo]

The number of continuous function [tex]\displaystyle g:\bigg[0,\frac{3}{2}\bigg]\rightarrow \bigg(0,\infty\bigg)[/tex]

satisfying the equation [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}g(x)dx+125\int^{\frac{3}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{g(x)+x^2}}dx=108[/tex]

Каква странна задача!

С налучкване намерих, че при:
$g = 6.25 - x^2$

In [34]: g = 6.25 - x**2

In [35]: float(4*integrate(g,(x,0,3/2)) + 125*integrate(1/(sqrt(g+x**2)),(x,0,3/2)))
Out[35]: 108.00000000000001

Това не е изглежда да е решението но е някакво решение.

Нямам спомен защо и как съм намерил точно тази функция.

Но решението мисля е всъщност друго. В задачата се пита колко е броят на тези функции? Вече намерихме една и сигурно само остава да докажем че променяйки я малко (или безкрайно малко), можем да генерираме безкрайно много функции, които също дават 108. Тогава отговора на задачата ще бъде [tex]\infty[/tex].

[Румен Симеонов]

Да, макар и само в нулата, ами тогава ще я запишем с добавено едно мъничко делта (и нека да е на квадрат):

[tex]g(x)=-x^2+c^2x^{2\alpha} + \delta^2[/tex].

Играем така:

1. избираме алфа много близко до 1,
2. с делта равно на нула осигуряваме израза отляво да е строго по малък от 108 за някое це по-голямо от 8 или там някъде, май и точно 8 може,
3. Повдигаве делта малко над нулата, така че постигнатото падане строго под 108 да се запази налице,
4. почваме да движим це към безкрайност докато вместо по-малка от 108 лявата страна стане равна на 108.

Така доказахме, че за всяко алфа от плътен интервал отляво на 1 има съответно на него функция ге. Като бройка точките в един плътен интернал са континуум много, а значи са безкрайност (една от безкрайностите). Сега остава да докажем, че решенията не са повече от континуум много. Знаеш ли как? Дали е вярно?

[Румен Симеонов]

The number of continuous function [tex]\displaystyle g:\bigg[0,\frac{3}{2}\bigg]\rightarrow \bigg(0,\infty\bigg)[/tex]

satisfying the equation [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}g(x)dx+125\int^{\frac{3}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{g(x)+x^2}}dx=108[/tex]

След като я реших вече мога да се ,,съглася", ха-ха, че задачата правилно е поставена в раздела Състезания за 9 - 12 клас.

[Гост]

Малко по удобно е да попреместим положителното делта на друго място:

[tex]g(x)=-x^2 + c^2(x+\delta)^{2\alpha}[/tex]

Освен това, май не е точно 1-цата в близост до която трябва да е алфа, за да може да се намери изходно це, което пък може и да не е около 8, за което це лявата страна е по-малка от 108. Но това не променя съществено плана за действие, по който се построява подробното решение.

[man111]

Thanks friends

Let [tex]\displaystyle \sqrt{g(x)+x^2} = k(x)=k> 0[/tex]


So equation as [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}4[k^2-x^2]+\frac{125}{k}=108[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_0[4k^2+\frac{125}{k}]dx=\frac{225}{2}[/tex]

Using A.M G.M Inequality, we get

[tex]\displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_{0}[4k^2+\frac{125}{2k}+\frac{125}{2k}]\geq 3[4k^2\cdot \frac{125}{2k}\cdot \frac{125}{2k}]^{\frac{1}{3}}=\frac{225}{2}[/tex]

Equality hold when

[tex]\displaystyle 4k^2=\frac{125}{2k}\Longrightarrow k=\frac{25}{4}\Longrightarrow f(x)=\frac{125}{4}-x^2[/tex]

[Гост]

Thanks friends

Let [tex]\displaystyle \sqrt{g(x)+x^2} = k(x)=k> 0[/tex]


So equation as [tex]\displaystyle 4\int^{\frac{3}{2}}_{0}4[k^2-x^2]+\frac{125}{k}=108[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_0[4k^2+\frac{125}{k}]dx=\frac{225}{2}[/tex]

Using A.M G.M Inequality, we get

[tex]\displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_{0}[4k^2+\frac{125}{2k}+\frac{125}{2k}]\geq 3[4k^2\cdot \frac{125}{2k}\cdot \frac{125}{2k}]^{\frac{1}{3}}=\frac{225}{2}[/tex]

Equality hold when

[tex]\displaystyle 4k^2=\frac{125}{2k}\Longrightarrow k=\frac{25}{4}\Longrightarrow f(x)=\frac{125}{4}-x^2[/tex]

Може ли една чаша и за мен, щото ми стана интересен разговора, но ще ми трябва малко време да се освестя. Cheers.

[Румен Симеонов]

Малко по удобно е да попреместим положителното делта на друго място:

[tex]g(x)=-x^2 + c^2(x+\delta)^{2\alpha}[/tex]

Освен това, май не е точно 1-цата в близост до която трябва да е алфа, за да може да се намери изходно це, което пък може и да не е около 8, за което це лявата страна е по-малка от 108. Но това не променя съществено плана за действие, по който се построява подробното решение.

Това написах аз, Румен Симеонов, и си искам приоритета за хубавото място за делта. Обаче, системата междувременно ме била изхвърлила, без да забележа, и записаното от мен е с ,,автор", наречен Гост. Същото и за чашата, дайте една и на мен, моля.