система показателни уравнения

[Гост]

Затруднява ме следната задача

[tex]\begin{array}{|l} 2^{x} + 2^{y} = 12 \\ 3^{x} + 3^{y} = 36 \end{array}[/tex]
очевидни решения са двойките (2;3) и (3;2), но не знам какви преобразувания трябва да направя, за да мога математически да достигна до тези отговори и за да съм сигурен, че те са единствени

[peyo]

Затруднява ме следната задача

[tex]\begin{array}{|l} 2^{x} + 2^{y} = 12 \\ 3^{x} + 3^{y} = 36 \end{array}[/tex]
очевидни решения са двойките (2;3) и (3;2), но не знам какви преобразувания трябва да направя, за да мога математически да достигна до тези отговори и за да съм сигурен, че те са единствени

$2^{x} + 2^{y} = 12$

$2^{x} = 12 - 2^{y}$

$x log_2(2) = log_2(12 - 2^{y})$

$x = log_2(12 - 2^{y})$

$3^{x} + 3^{y} = 36$

$3^{ log_2(12 - 2^{y})} + 3^{y} = 36$

Промяна на базата:

$3^{ log_3(12 - 2^{y})/log_3(2)} + 3^{y} = 36$

${3^{ log_3(12 - 2^{y})}}^{1/log_3(2)} + 3^{y} = 36$

${(12 - 2^{y})}^{1/log_3(2)} + 3^{y} = 36$

${(12 - 2^{y})}^{1.5849625007211563} + 3^{y} = 36$

In [230]: plot((12 - 2**y)**1.5849625007211563 + 3**y - 36, (y,-1,3.5))
Out[230]: <sympy.plotting.plot.Plot at 0x18cda6c3550>

sjdkfghksdjgskhdfgs.png (21.23 KiB) Прегледано 1474 пъти

Хм да, y=2 и y=3 са единствени решения.

Но аналитично решение това не е.

[Гост]

polozhi

[Гост]

Какво да се положи?

[Гост]

[tex]2^{x } =u[/tex]

[Гост]

Пробвано е. Тогава и 2^y става v и после някакви шантави сметки за 3^x и 3^y, които пак не водят до нищо

[Гост]

napishi gi

[Jack]

Затруднява ме следната задача

[tex]\begin{array}{|l} 2^{x} + 2^{y} = 12 \\ 3^{x} + 3^{y} = 36 \end{array}[/tex]
очевидни решения са двойките (2;3) и (3;2), но не знам какви преобразувания трябва да направя, за да мога математически да достигна до тези отговори и за да съм сигурен, че те са единствени

Приемаме, че $x < y$.

$2^{x}(1+2^{y-x}) = 12$
$3^{x}(1+3^{y-x}) = 36$

От тук виждаме, че $x$ трябва да бъде цяло число. Ако не е цяло число $1+2^{y-x}$ трябва да е четно, тоест $2^{y-x}$ трябва да е нечетно, което е невъзможно.

От тук виждаме, че $2^{x}|12$ и $3^{x}|36$.

От $2^{x} = 1, 2, 3, 4, 6, 12$ ни устройват $2^{x} = 1, 4$.
От $3^{x} = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ ни устройват $3^{x} = 1, 9$.

И при двете уравнение $x = 0$ и $x = 2$.

Първи случай: $x = 0$
$2^{0}(1+2^{y-x}) = 1 + 2^{y-x} = 12$
$2^{y-x} = 11$, $x \ne 0$

Втори случай: $x = 2$
$2^{2}(1+2^{y-x}) = 4(1+2^{y-x}) = 12$
$2^{y-x} = 2$, $y - x = y - 2 = 1$, $y = 3$. [tex]\Rightarrow[/tex]

Имаме една двойка $(x;y) = (2;3)$.

Когато $x > y$ се получава, че $y = 0$ и $y = 2$. Пробваме двата случая и се получава $(x;y)=(3;2)$. [tex]\Rightarrow[/tex]

Отговор:
$(x;y)=(2;3), (3;2)$

Надявам се, че решението ми е вярно и разбираемо.

[Гост]

Не разбрах обосновката защо x трябва да бъде цяло число