Окръжност и прави

[ins-]

Дадени са окръжност k и точка P извън нея. A и B са допирните точки на допирателните от P към k. През P е построена права l, която пресича k в точките C и D (C е между P и D). През B е построена права m, успоредна на l. Пресечната точка на m и k е означена с E. С Q е означена пресечната точка на AE и CD. Да се докаже, че Q е среда на CD.

[prodanov]

ЧРЕТЕЖ:


Разгл. четириъгълника DECB:

1) [tex]BE || CD[/tex] (по условие)
2) CB не е успоредна на DE
=> DECB e трапец.

[tex]2*\angle CDE = \stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{CBE}, 2*\angle EBC= \stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{CDE}[/tex].
Но [tex]\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{CBE}+\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{CDE}= 360^\circ => \angle CDE + \angle EBC = 180^\circ =>[/tex] трапеца е равнобедрен.
[tex]=> \angle CDE= \angle DCB[/tex]
[tex]=> \stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{CB} = \stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{DE}[/tex]

Разгл. [tex]\Delta ADQ[/tex]:
1) [tex]\angle DAQ= \stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{DE}[/tex]
2) [tex]\angle ADQ= \stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{AC}[/tex]
3) [tex]\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{CB} = \stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{DE}[/tex] (по доказателство)
=> [tex]\Delta ADQ[/tex] - равнобедрен([tex]AQ=DQ[/tex]).

По същата аналогия [tex]\Delta CQE[/tex] - равнобедрен([tex]CQ=EQ[/tex]).

Разгл. [tex]\Delta ADQ[/tex] и [tex]\Delta CQE[/tex]:
1,2) [tex]\angle ADQ = DAQ = CEQ = ECQ[/tex] => те са подобни!

(1*)тогава [tex]AQ:CQ=DQ:QE[/tex]

От свойство на дъги в окръжност(9ти клас) имаме [tex]EQ*QA=CQ*QD[/tex]
Нека [tex]AQ=DQ=x[/tex] ; [tex]CQ=EQ=y[/tex]
(2*)тогава: [tex]y*x=y*x[/tex]

от 1* и 2* имаме системата:

[tex]\begin{tabular}{|l} x^2=y^2 \\ x*y=x*y \end{tabular}[/tex]

=> [tex]x=y[/tex]; или [tex]EQ=QA=CQ=QD[/tex]

=> [tex]EQ=QD[/tex]!!

[ins-]

Благодаря за решението.
Преди два дни докато си разцъквах открих това твърдение.

Въпросите ми са както обикновено (към всички потребители на форума):

1. Харесва ли Ви задачата?
2. Какво е нивото и на сложност?
3. Виждали ли сте я някъде преди?

Задачата допуска повече от едно решение, ако искате - опитайте да я решите
по повече начини.

[prodanov]

Честно да ти кажа, сега съм 12ти клас, но не съм учил математика както трябва в 8-ми, 9-ти и 10-ти, плюс тя не ми е профил. Но въпреки всичко се взех в ръце тази лятна ваканция и започнах по профилираните от 8ми клас на Анубис. За две седмици изядох геометрията от 8ми клас, а това цялото решение е базирано върху тези знания, с изключение на съотношението на дъгите в окръжност(поне в Анубис, то е 9ти клас ПП).

Не мога да кажа трудна или не, защото за едни е трудна - за други не, пък съм и нов! Условието е малко стряскащо отначало, но задачата е страшно интерестна и полезна, за което ти благодаря искрено!

Така че, на кратко:
1) Страшно много, усобено еуфорията от това че съм я е решил, че съм попил знанията за тия две седмици!
2) Не мога да определя
3) Не, повечето задачи в учебниците изискват знания конкретно от урока, в който са, и може би базови знания преди това. Тази искаше повече.

Ако тръгна да я решавам пак, ще загубя интерес. Единствено ми е чудно дали бих успял без съотношението на дъгите в окръжност от 9ти клас, т.е изцяло знания от 8ми клас. Но нямам толкова време, тряя да наваксвам още много.

[ins-]

Мен ме радва, че е по силите на ученик и е харесала на някого. Повечето задачи дето измислям са злобни. А твоето ниво на подготовка далеч не е зле. Виждал съм подобни задачи давани на общински кръг, предлагани на руската олимпиада през ранните години, както и на състезание в Пекин.

[ins-]

Извинявам се много - решението на prodanov не е коректно, най-малкото защото триъгълниците AQD и CQE не са равнобедрени. От съставената от него система само първото уравнение би било достатъчно за установяване на равенството на отсечките. Чак сега успях да се концентрирам поне малко, грешката е моя.

Други идеи?

Предлагам, ако никой не я реши - това да е "задача на седмицата" за другата седмица въпреки, че е много лесна.

[b1ck0]

[tex]\angle BEQ = \angle CQA = \alpha[/tex] ( кръсни )
[tex]\angle EQD = \angle CQA = \alpha[/tex] ( връхни )
Нека [tex]QM \bot BE \Right \angle EMQ = 90^\circ \Right \angle MQE = 90^\circ - \alpha[/tex]
тук става интересно
[tex]\angle MQE + \angle EQD = \alpha + 90 - \alpha = 90^\circ[/tex], но [tex]\angle DQO = 90^\circ[/tex]
следователно [tex]M,Q,O[/tex] лежат на една права ( радиус, разполовява хора .... )

[ins-]

А сега 3-те въпроса:

1. Харесва ли ти задачата?
2. Какво е нивото ? на сложност?
3. Виждал ли си я някъде преди?

[L.e.o]

[tex]\angle BEQ = \angle CQA = \alpha[/tex] ( кръсни )
[tex]\angle EQD = \angle CQA = \alpha[/tex] ( връхни )
Нека [tex]QM \bot BE \Right \angle EMQ = 90^\circ \Right \angle MQE = 90^\circ - \alpha[/tex]
тук става интересно
[tex]\angle MQE + \angle EQD = \alpha + 90 - \alpha = 90^\circ[/tex], но [tex]\angle DQO = 90^\circ[/tex]
следователно [tex]M,Q,O[/tex] лежат на една права ( радиус, разполовява хора .... )

От къде знаеш, че ъгъл DQO e 90 ?
То ако го знаем, че е прав, тя задачата се обезмисля - перпендикуляр от центъра към хорда я разполовява.

[ins-]

ако тази задача стане "задача на седмицата" ще е голям смях

[b1ck0]

[tex]\angle BEQ = \angle CQA = \alpha[/tex] ( кръсни )
[tex]\angle EQD = \angle CQA = \alpha[/tex] ( връхни )
Нека [tex]QM \bot BE \Right \angle EMQ = 90^\circ \Right \angle MQE = 90^\circ - \alpha[/tex]
тук става интересно
[tex]\angle MQE + \angle EQD = \alpha + 90 - \alpha = 90^\circ[/tex], но [tex]\angle DQO = 90^\circ[/tex]
следователно [tex]M,Q,O[/tex] лежат на една права ( радиус, разполовява хора .... )

От къде знаеш, че ъгъл DQO e 90 ?
То ако го знаем, че е прав, тя задачата се обезмисля - перпендикуляр от центъра към хорда я разполовява.

[tex]\angle NQD = \angle MQE = 90 - \alpha[/tex] ( връхни ) ... просто не сметнах че е необходимо да го пиша
П.П: усещам че ще ме питате и за [tex]\angle CQM = 90[/tex] понеже [tex]CM \bot BE[/tex] и [tex]BE || CD[/tex]

[Martin Nikovski]

[tex]\angle NQD = \angle MQE = 90 - \alpha[/tex] ( връхни ) ... просто не сметнах че е необходимо да го пиша
П.П: усещам че ще ме питате и за [tex]\angle CQM = 90[/tex] понеже [tex]CM \bot BE[/tex] и [tex]BE || CD[/tex]

От последния пост нищо не разбрах... Всичко в него е очевидно грешно... освен успоредните прави.

[ubuntu]

b1ck0, не видях някъде да си използвал допирателните към окръжността.

То това ти решава и задачата.Иначе май е руска ( виждал съм я преди ).

[ins-]

ubuntu, освен тук:
http://dxdy.ru/topic36248.html
би ли бил по-точен къде си я виждал?

[prodanov]

ins- , прав си че накрая съм оплескал нещата, но триъгълниците са равнобедрени. AC=BC=DE. Друг е въпроса, че свойството от 9ти клас въобще не ми помага. Объркал съм доказателство със свойство и прочие.

Ще се пробвам пак.

AC=BC=DE, вече доказано в първия пост. Аналогично хордите AC=BC=DE също така.

Триъгълниците DAC и DEC са еднакви(AC=DE; DC обща; ъгъл ADC=DCE=DE=AC).
=> CE=AD, е сега х=у

Освен пак да съм сгрешил. Не гарантирам, два часа е.

[ins-]

Триъгълниците DAC и DEC са еднакви

Не винаги са еднакви.

Още едно доказателство:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7#p2015847

Задачата е откривана и преди мен, но се радвам, че забелязах този факт.