Минималистична задача

[KOPMOPAH]

Около окръжност е описан правоъгълен трапец с основи $a$ и $b$. Да се намери лицето му.

[Гост]

prekaleno lesno mi se struva za sustezanija...S=ab

[Гост]

prekaleno lesno mi se struva za sustezanija...S=ab

И как го получи?

[stefanb]

d- голямо бедро
h - малко
d+h=a+b
[tex]d^{2 }[/tex]-[tex]h^{2 }[/tex]=[tex](a-b)^{2 }[/tex]
(a+b).(d-h)=[tex](a-b)^{2 }[/tex]
h=2ab/(a+b)
S= (a+b)ab/(a+b)=ab

[S.B.]

Около окръжност е описан правоъгълен трапец с основи $a$ и $b$. Да се намери лицето му.

Без заглавие - 2023-04-20T092028.272.png (264.23 KiB) Прегледано 1385 пъти

Още един поглед върху задачата

Окръжността се допира до страните $AB,BC,CA$ и $AD$ съответно в точки $N,T,M$ и $P$
[tex]AD = 2r[/tex]
[tex]AN = r \Rightarrow NB = a - r[/tex]
[tex]DM = r \Rightarrow MC = b - r[/tex]
От свойството на допирателните от външна точка към окръжност [tex]\rightarrow NB = BT , MC = CT[/tex]
[tex]\angle COB[/tex] е ъгъл между ъглополовящи на прилежащи ъгли,получени при пресичане на две успоредни прави с трета
[tex]\Rightarrow \angle COB = 90 ^\circ \Leftrightarrow \triangle COB[/tex] е правоъгълен
[tex]OT = r , OT \bot BC[/tex]
От метричните свойства на правоъгълен триъгълник [tex]\rightarrow[/tex]
[tex]OT^{2 } = BT.CT \Leftrightarrow r^{2 } = (b - r)(a - r) \Leftrightarrow r^{2 } = ab - br - ar + r^{2 } \Leftrightarrow ab = r(a+b)[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{ab}{a +b} $$
[tex]P_{ABCD } = 2(a + b) \Rightarrow p = a + b[/tex] ( в трапеца е вписана окръжност и $AB + CD = AD + BC$)
[tex]S_{ABCD } = p.r \Leftrightarrow S_{ABCD } = (a + b). \frac{ab}{a +b}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = ab $$