Окръжности

[b1ck0]

Окръжностите [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] се пресичат в точки [tex]A,B[/tex]. Отсечката [tex]PQ[/tex] е допирателна към [tex]k_{1}[/tex] в точка [tex]P[/tex] и към [tex]k_{2}[/tex] в тока [tex]Q[/tex], като точка [tex]A[/tex] е по-близо до [tex]PQ[/tex] от [tex]B[/tex]. Точка [tex]X[/tex] лежи на [tex]k_{1}[/tex] и е такава че [tex]PX ||QB[/tex], а точка [tex]Y[/tex], която лежи на [tex]k_{2}[/tex] е такава че [tex]QY || PB[/tex]. Като се има в предвид че:
1. [tex]\angle APQ = 30^\circ[/tex]
2. [tex]\angle PQA = 15^\circ[/tex]
Да се намери относението: [tex]\frac{AX}{AY} = ?[/tex]

[ins-]

Задачата авторска ли е?

[b1ck0]

Не е авторска. От съзтезание е ...

[L.e.o]

Стъпка 1:
доказва се, че P, A, Y и Q,A,X лежат съответно на едни прави.

[ubuntu]

Окръжностите [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] се пресичат в точки [tex]A,B[/tex]. Отсечката [tex]PQ[/tex] е допирателна към [tex]k_{1}[/tex] в точка [tex]P[/tex] и към [tex]k_{2}[/tex] в тока [tex]Q[/tex], като точка [tex]A[/tex] е по-близо до [tex]PQ[/tex] от [tex]B[/tex]. Точка [tex]X[/tex] лежи на [tex]k_{1}[/tex] и е такава че [tex]PX ||QB[/tex], а точка [tex]Y[/tex], която лежи на [tex]k_{2}[/tex] е такава че [tex]QY || PB[/tex]. Като се има в предвид че:
1. [tex]\angle APQ = 30^\circ[/tex]
2. [tex]\angle PQA = 15^\circ[/tex]
Да се намери относението: [tex]\frac{AX}{AY} = ?[/tex]

<QYB=180-<QAB=<PBY (1) , <PBX=<PAX (2) , <XAB=<XPB=<PBQ=<AQP+<APQ=180-<PAQ (3)
От (1),(2) и (3) следва X-B-Y.<BQY=<BAY=<PBQ=<PQA+<APQ=45 , аналогично <XAB=45 , откъдето и <XAB=90.
Остава да намерим някой от ъглите в правоъгълния XAY (<AYB=<AQB,<AXB=<BPA).
Разглеждаме тр.BPQ.Нека BA(x)PQ=M в такъв случай MQ^2=MA.MB=MP^2.
От една страна MA/sin15=MQ/sin<QAM , от друга МА/sin30=PM/sin(135-<QAM)=MQ/sin(135-<QAM).
Получава се едно тригонометрично уравнение , което сега нямам време да сметна (: