Приятно комплексно уравнение

[mkmarinov]

Да се реши в множеството на комплексните числа:
[tex]1-z+z^2-z^3+...-z^{2009}+z^{2010}=0[/tex]

[ganka simeonova]

Ако представим z и степените му в тригонометричен вид, по Моавър, няма ли да стане?

[mkmarinov]

Не знам .

[nikko]

Лесно, колеги. Полином от степен 2010 има 2010 корена.
Имаме [tex](1-z+z^2-z^3+...-z^{2009}+z^{2010})(1+z)=1+z^{2011}[/tex] и за сумата S (понеже [tex]z\neq -1[/tex] иначе получаваме 2011) имаме [tex]S=\frac{z^{2011}+1}{z+1}=0\Leftrightarrow z^{2011}=-1=\cos\pi+i\sin\pi[/tex] с изключение на [tex]z=-1[/tex]
Получаваме 2010 корена
[tex]z_k=\cos\frac{\pi+2k\pi}{2011}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{2011}[/tex] за [tex]k=0,1,\dots,2010,\ k\neq 1005[/tex]

[mkmarinov]

Правилно .