Задачка

[ins-]

Дадена е полуокръжност k с диаметър AB. На k е избрана произволна точка C, несъвпадаща с A и B.
D е среда на AC. Е е пресечната точка на k и BD. Права през E, успоредна на AC пресича k в т. F.
P е пресечната точка на AB и FD. Да се докаже, че: BP=2AP.

[Hena]

Нека PFxBC=X.Тъй като EF||AC и E,F,A,C лежат на k,следователно EFCA е равнобедрен трапец => ЕА=FC и <EAC=<FCA =>?EDA??FDC =><AED=<DFC=90° и <DFE=<DEF=<EDA=<FCX,тъй като EBCF е вписан,което означава че <EAD=<EBC=<DXC => ?DBX е равнобедрен => BC=CX.Тогава от Менелай за ?ABC и правата PX ,получаваме,че BP=2AP

[ins-]

Браво!
За статистиката - задачата може да се реши и без теоремата на Менелай.