Три равностранни триъгълника

[ins-]

Дадени са равностранните триъгълници ABC и DEC. M е среда на AC, N е среда на CD, P е среда на BD.
Да се докаже, че MNP е равностранен триъгълник.

[Martin Nikovski]

Така дадено условието, не мисля, че [tex]\Delta MNP[/tex] е равностранен...

[ins-]

Разбутай буквите и е. Като се прибера ще пусна картинка
Условието не е от най-добре дефинираните, но може да го изчистим.

[L.e.o]

Като се начертаят 2та тригълника един върху друг, така че: АЕ || BD, MNP e равностранен със страна АВ?3/2.

[ins-]

Ето една примерна картинка. Идеята е, че както и да въртим оцветените триъгълници около общия им връх, новополучения триъгълник е равностранен. Това твърдение е много лесно за доказване.
Открих го като помощен факт за следната задача:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=366087

[Hena]

За решението на тази задача е удобно да се използва въртене на вектори в равнината.Трябва да докажем,че:

[tex]R^{60^\circ}(\vec{GF})=\vec{HF}[/tex]

[tex]R^{60^\circ}(\vec{GF})=R^{60^\circ}(\vec{GA}+\vec{AF})=R^{60^\circ}(\frac{1}{2}.\vec{DA}+\frac{1}{2}.\vec{AC})=\frac{1}{2}.R^{60^\circ}(\vec{DA})+\frac{1}{2}.R^{60^\circ}(\vec{AC})=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}.\vec{EA}+\frac{1}{2}.\vec{BC}[/tex]
От друга страна [tex]\vec{HF}=\vec{AF}+\vec{HA}=\frac{1}{2}.\vec{AC}+\frac{1}{2}.\vec{BA}+\frac{1}{2}.\vec{EA}=\frac{1}{2}.\vec{EA}+\frac{1}{2}.\vec{BC}[/tex]

Тогава ?GFH е равностранен.

[ins-]

Бихме могли да използваме и косинусова теорема.

[L.e.o]

offtopic: оставам с впечатлението, че по олимпиади вече само геоментрични задачи дават...

[ins-]

Не е така, просто най-много ме радва геометрията и затова не пускам други задачи. Повечето твърдения, които пускам забелязвам сам. Някои от тях мога да докажа, други - не. Интересно ми е какво ще кажат и други хора.
viewtopic.php?f=10&t=1711#p8289
Тук съм пускал и алгебрични задачи, ако на някого му се решават.

[Станислав]

offtopic: оставам с впечатлението, че по олимпиади вече само геоментрични задачи дават...

Странно, и аз имам такова впечатление ...

[ins-]

http://dxdy.ru/topic36477.html
Още едно решение.