забавна

[martin123456]

Нека [tex]a,b,c \in \mathbb{R}/\{0\}[/tex]. Известно е че [tex]abc(a^3+b^3+c^3)<\sum_{cyc}{a^3b^3}[/tex]. Докажете, че точно две от [tex]ax^2+2bx+c=0[/tex], [tex]bx^2+2cx+a=0[/tex] и [tex]cx^2+2ax+b=0[/tex] има реални корени.

[dim]

Нека [tex]a,b,c \in \mathbb{R}/\{0\}[/tex]. Известно е че [tex]abc(a^3+b^3+c^3)<\sum_{cyc}{a^3b^3}[/tex]. Докажете, че точно две от [tex]ax^2+2bx+c=0[/tex], [tex]bx^2+2cx+a=0[/tex] и [tex]cx^2+2ax+b=0[/tex] има реални корени.

[tex]abc(a^3+b^3+c^3)<\sum_{cyc}{a^3b^3}[/tex] <=> [tex](a^2-bc)(b^2-ac)(c^2-bc)=D_1.D_2.D_3<0[/tex], където [tex]D_{1,2,3}[/tex]са дискриминантите на квадрадните тричленове => Или и трите са отрицателни или само едната. Първото лесно се проверява, че е невъзможно => точно две от у-та винаги имат реални корени ( и то по два).

[martin123456]

да

само ще напиша как отхвърляме 3 отрицателни: допускаме че са 3 отрицателни. събираме ги и става [tex]a^2+b^2+c^2<ab+bc+ac[/tex]

[dim]

Точно така. Всъщност е в сила точно обратното: [tex]a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca[/tex] - противоречие.