Малко алгебра

[b1ck0]

1. (2010_a_10)
Нека [tex]p(x)[/tex] и [tex]q(x)[/tex] са два кубични полинома, такива че:
* [tex]p(0)=-24[/tex]
* [tex]q(0)=30[/tex]
* [tex]p(q(x)) = q(p(x))[/tex] за всички [tex]x \in R[/tex]
Да се намери подредената двойка [tex]\left( p(3), q(6) \right)[/tex]

2.(2009_a_7)
Опростете:
[tex]\prod_{m=1}^{100} \prod_{n=1}^{100} \frac{x^{n+m}+x^{n+m+2}+x^{2n+1}+x^{2m+1}}{x^{2n}+2x^{n+m}+x^{2m}}[/tex]

3. (2008_a_10)
Пресметнете:
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \left( \begin{tabular} 2n \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\n \end{tabular} \right) \frac{1}{5^{n}}[/tex]

Текстовете в червено нямат нищо общо с условията

[martin123456]

3
[tex]{2n \choose n}=\frac{(2n)(2n-2)\ldots 2}{n!}.\frac{(2n-1)(2n-3)\ldots 1}{n!}=\frac{2^n n(n-1)\ldots 1}{n!}.\frac{(2n-1)(2n-3)\ldots 1}{n!}[/tex][tex]=\frac{2^n}{n!}(2n-1)(2n-3)\ldots 1=\frac{4^n}{n!}(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})\cdots (\frac{3}{2}).\frac{1}{2}=\frac{4^n}{n!}.\frac{1}{2}.(\frac{1}{2}+1).(\frac{1}{2}+2)\ldots (\frac{1}{2}+n-1)[/tex].
Забелязваме, че [tex](1-4x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}{-\frac{1}{2} \choose n}(-4x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\frac{1}{2}).(-\frac{1}{2}-1).(\frac{1}{2}-2)\ldots (-\frac{1}{2}-n+1)}{n!}(-4x)^n[/tex].
Значи горният израз е [tex]{2n \choose n}=\frac{4^n}{n!}(-1)^n.(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)\ldots(-\frac{1}{2}-n+1)[/tex].
Търсим [tex]\sum_{n=0}^{\infty}{2n \choose n}\frac{1}{5^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^n}{n!}(-1)^n.(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)\ldots(-\frac{1}{2}-n+1)\frac{1}{5^n}=[/tex][tex]\sum_{n=0}^{\infty}(-4.5^{-1})^n.\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)\ldots(-\frac{1}{2}-n+1)}{n!}=(1-\frac{4}{5})^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}[/tex].

[b1ck0]

напълно вярно

[L.e.o]

1.
p(q(x)) = q(p(x)) => p(q(x1)) - p(q(x2)) = q(p(x1)) - q(p(x2)) => Функциите q(p(x) и p(q(x)) са линейни.
q(0) = 30
p(0) = -24 => q(p(x)) = 5/4*p(x) + 30 , p(q(x)) = 4/5 *q(x) - 24 ( p(q(x)) = q(p(x)) = x+6 ) =>
p(x) = 4/5*x - 24, q(x) = 5/4*x + 30

В условието пише, че са кубични полиномите, но ми излизат линейни, но не мога да се сетя друг начин за решаване.

[b1ck0]

Лео ето ти решение на първа задача:

[allier]

Това решение си е чисто налучкване - намират два полинома, вършещи работа, и казват какви са стойностите, които се търсят ....

[Hena]

2 задача:
Нека първо опростим израза [tex]\frac{x^{n+m}+x^{n+m+2}+x^{2n+1}+x^{2m+1}}{x^{2n}+2x^{n+m}+x^{2m}}=\frac{x^{2n+1}(x^{m+n+2-2n-1}+1)+x^{m+n}(x^{2m+1-m-n}+1)}{(x^m+x^n)^2}=[/tex]

[tex]=\frac{x^{2n+1}(x^{m-n+1}+1)+x^{m+n}(x^{m-n+1}+1)}{(x^m+x^n)^2}=\frac{(x^{m-n+1}+1)(x^{2n+1}+x^{m+n})}{(x^m+x^n)^2}=[/tex]

[tex]=\frac{x^n(x^{m-n+1}+1)(x^{n+1}+x^m)}{(x^m+x^n)^2}=\frac{(x^{m+1}+x^n)(x^{n+1}+x^m)}{(x^m+x^n)^2}=[/tex]

[tex]=\frac{x^m(x+x^{n-m})x^m(x^{n-m+1}+1)}{x^{2m}(1+x^{n-m})^2}=\frac{x(x^{n-m-1}+1)(x^{n-m+1}+1)}{(x^{n-m}+1)^2}[/tex]

Нека сега означим:[tex]T_m=\prod_{n=1}^{100}\frac{x(x^{n-m-1}+1)(x^{n-m+1}+1)}{(x^{n-m}+1)^2}[/tex]
Тогава изчисляваме:

[tex]T_1=\frac{x(x^{-1}+1)(x^1+1)x(x^{0}+1)(x^2+1)x(x^{1}+1)(x^3+1)...x(x^{98}+1)(x^{100}+1)}{(x^0+1)^2(x^1+1)^2(x^2+1)^2...(x^{99}+1)^2}=\frac{x^{100}(x^{-1}+1)(x^{100}+1)}{(x^0+1)(x^{99}+1)[/tex]

Аналогично изчисляваме и:
[tex]T_2=\frac{x^{100}(x^{-2}+1)(x^{99}+1)}{(x^{-1}+1)(x^{98}+1)[/tex]
[tex].[/tex]

[tex].[/tex]

[tex].[/tex]
[tex]T_{100}=\frac{x^{100}(x^{-100}+1)(x^1+1)}{(x^{-99}+1)(x^0+1)}[/tex]
Сега ни остава само да изчислим:

[tex]\prod_{m=1}^{100}T_m=\frac{x^{10000}(x^{100}+1)(x^{-100}+1)}{(x^0+1)^2}=\frac{x^{10000}(x^{100}+1)(x^{-100}+1)}{4}[/tex]

[b1ck0]

Браво! Като стойности получаваш същото както е дадено в отговора, просто записа е друг