система

[martin123456]

[tex]\begin{tabular}{|l}\log_{2}{\sqrt{tgx+3}}=\log_{3}{(3tgy)}\\\log_{2}{\sqrt{tgy+3}}=\log_{3}{(3tgx)} \end{tabular}[/tex]

[martosss]

[tex]\begin{tabular}{|l}\log_{2}{\sqrt{tgx+3}}=\log_{3}{(3tgy)}\\\log_{2}{\sqrt{tgy+3}}=\log_{3}{(3tgx)} \end{tabular}[/tex]

Д.С. [tex]\tan x>0,\: \tan y>0[/tex]
Полагаме [tex]\tan x=a>0, \tan y=b>0[/tex]:
[tex]\begin{tabular}{|l}\frac{\log_3 \sqrt {a+3}}{\log_3 2}=\log_3 (3 b)\\\frac{\log_3 \sqrt {b+3}}{\log_3 2}=\log_3 (3 a)\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}\log_3 \sqrt {a+3}=\log_3 (3 b)^{\log_3 2}\\\log_3 \sqrt {b+3}=\log_3 (3 a)^{\log_3 2}\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}\sqrt{a+3}=(3b)^{\log_3 2}\\\sqrt{b+3}=(3a)^{\log_3 2}\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}a+3=4b^{\log_3 4}\\b+3=4a^{\log_3 4}\end{tabular}[/tex]

Това са ни двете преработени уравнения(поне според мен).
Сега ги изваждаме почленно и получаваме
[tex]a+4a^{\log_3 4}=b+4b^{\log_3 4}[/tex]
Тъй като [tex]f(x)=x+4x^{\log_3 4}[/tex] е растяща функция, то a=b, откъдето x=y.
Остана да намерим на точно колко са равни. За целта заместваме в някое от първоначалните уравнения:
[tex]a+3=4a^{\log_3 4}[/tex]
Лявата страна за a>0 е по-голяма от 3.
Дясната страна е растяща функция.
При [tex]0<a<\frac{1}{3}\Right 4a^
{\log_3 4}<1[/tex]

[tex]f(a)=4a^{\log_3 4}-a-3[/tex]
[tex]f'(a)=4(\log_3 4) a^{\log_3 4-1}-1[/tex]
За [tex]a\ge\frac{1}{3}\Right f'(a)\ge 3log_3 4-1>0[/tex], откъдето функцията е растяща, откъдето има най-много 1 пресечна точка с абсцисата. Забелезваме, че a=1 е решение, понеже 3+1=4*1.
Тогава а=1 е единствено решение, откъдето [tex]tgx=tgy[/tex] и намираме х и у.
Окончателно имаме като решение двойката[tex]\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\: ;\: y=\frac{\pi}{4}+l\pi\right), k,l\in Z[/tex]

Тази задача ми показа колко много съм забравил от свойства на степени и логаритми

[martin123456]

правилен отговор