Само с 9 клас:)

[ganka simeonova]

Ддаен е правоъгълен триъгълник [tex]ABC; \angle C=90^\circ ; AC>BC[/tex], с периметър [tex]P=54[/tex]

Ъглополовящата на ъгъл А пресича ВС в точка Р. Ако СР=6, намерете страните на триъгълник АВС.
заб: без системи от 3 или 4 степен

[mkmarinov]

[tex]\frac{CP}{BP}=\frac{AC}{AB}[/tex] (св-во на ъглополовящата)
[tex]CP+BP=BC[/tex]
[tex]AC^2+BC^2=AB^2[/tex] (питагор)
[tex]AC+BC+AB=P[/tex]
Неизвестни: 4, брой уравнения: 4, най-висока степен: втора.

[ganka simeonova]

Колко неизвестни имаш в системата?

[ganka simeonova]

Приятели, хайде да помислим за хубаво решение.
Да спретнем само едно уравнение с едно неизвестно от 2 степен:)

[ganka simeonova]

Нали си говорим за хубава геометрия:)

[R Flavius]

Нека от точка Р спуснем перпендикуляр към хипотенузата. Нека петата на този перпендикуляр е точка Н. Тогава СР=РН=6, защото по условие т. Р е от ъглополовящата на ъгъл А. [tex]S \Delta ABC = \frac{ab}{2 }[/tex], но [tex]S \Delta ABC= S\Delta ABP+S \Delta APC=\frac{6c}{2 }+\frac{6b}{2 }=>ab=6c+6b=>\frac{ab}{6 }=c+b[/tex] Заместваме във формулата за периметъра: [tex]a+b+c=54 => a + \frac{ab}{6 }=54 => a(6+b)=324 => a=\frac{324}{6+b }[/tex]
Имаме още: [tex]a+b=54-c[/tex] Повдигаме на квадрат и получаваме : [tex]a^{2} + 2ab +b^{2}=54^{2}-2.54c+ c^{2}[/tex] След съкращаване получаваме : [tex]120c+12b=54^{2} => 12(10c + b)=3.9.4.27=>10c + b = 243 => c=\frac{243-b}{10 }[/tex]
Сега заместваме в израза за обиколката на триъгълника:
[tex]=>a+b+c=\frac{324}{6+b } + b + \frac{243-b}{10 }=54[/tex] След опростяване на този израз, стигаме до уравнението: [tex]b^{2}-27b+162=0[/tex] , откъдето намираме [tex]b_{1}=18, b_{2}=9[/tex] Връщаме се към линейните зависимости между различните страни на триъгълника и намираме а и с. Т.к. АС>ВС, то [tex]b_{2}=9[/tex] отпада. Така намираме:
[tex]a=13,5;
b=18;
c=22,5[/tex]

[ganka simeonova]

Ето и личното ми решение
Издигаме перпендикуляр от Р към ВС, докато пресече окръжността с център Р и радиъс 6 и през тази точка построяваме KL//BC.
Тогава тази окръжност е външновписана за [tex]\Delta AKL[/tex] и [tex]AC=b[/tex] се явява допирателна.
Но знаем, че тази допирателна е равна на полупериметъра на AKL.
Разглеждаме подобните [tex]\Delta ABC;\Delta AKL=>[/tex]

[tex]\frac{p_{AKL}}{ p_{ABC}} =\frac{AK}{ AC} =>\frac{b}{ 27} =\frac{b-6}{b } =>b^2-27b+27.6=0=>b=18[/tex]
После е ясно:)

[loving_math]

Страхотно е последното решение - елегантно, наистина.

[mkmarinov]

Колко неизвестни имаш в системата?

AC,AB,BC,BP са неизвестните.

[ganka simeonova]

Колко неизвестни имаш в системата?

AC,AB,BC,BP са неизвестните.

Да, 4