Binomial Sum

[man111]

Evaluation of [tex]\displaystyle \sum^{\frac{n}{2}}_{k=1} k\binom{n-k+1}{k}[/tex]

[ammornil]

Долното е адаптирана версия на друг подобен пример, който съм решавал преди много време, и не гарантирам, че е 100% вярно...
[tex]\sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{k\cdot{}{{n-k+1}\choose{k}}} = ? \\ \quad \\ k\cdot{}{{n-k+1}\choose{k}}=(n-k+1)\cdot{}{{n-k}\choose{k-1}} \\ \quad \\ \sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{k\cdot{}{{n-k+1}\choose{k}}}=\sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{(n-k+1)\cdot{}{{n-k}\choose{k-1}}} \\ \because{} j=k-1 \Rightarrow \sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{(n-k+1)\cdot{}{{n-k}\choose{k-1}}}=\sum^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}{(n-j)\cdot{}{{n-j-1}\choose{j}}}=n\cdot{}\sum^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}{{{n-j-1}\choose{j}}}-\sum^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}{j\cdot{}{{n-j-1}\choose{j}}}[/tex]$$ \boxed{\quad \sum^{m}_{j=0}{{{a+j}\choose{j}}}={{a+m+1}\choose{m}} \quad } , \quad ^{\bullet}$$[tex]\because{} \begin{cases} a=n-1 \\ m=\frac{n}{2}-1 \end{cases} \Rightarrow n\cdot{}\sum^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}{{{n-j-1}\choose{j}}}=n\cdot{}{{n-1+\left(\frac{n}{2}-1\right)+1}\choose{\frac{n}{2}}}=n\cdot{}{{n+\frac{n}{2}-1}\choose{\frac{n}{2}}} \\[/tex]$$ \sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{k\cdot{}{{n-k+1}\choose{k}}} = n\cdot{}{{\frac{3n}{2}-1}\choose{\frac{n}{2}}} -\sum^{\frac{n}{2}-1}_{j=0}{j\cdot{}{{n-j-1}\choose{j}}} = n\cdot{}{{\frac{3n}{2}-1}\choose{\frac{n}{2}}} -\sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{(k-1)\cdot{}{{n-k}\choose{k-1}}}$$
Не виждам как втората сума може да бъде разложена по-нататък. Можем да кажем с добро приближение, приносът на втората биномиална сума намалява с нарастването на [tex]n[/tex], тоест за достатъчно големи стойности на [tex]n[/tex] с добро приближение [tex]\sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{k\cdot{}{{n-k+1}\choose{k}}} \approx n\cdot{}{{\frac{3n}{2}-1}\choose{\frac{n}{2}}}[/tex]

[tex]^{\bullet}[/tex]Hockey Stick Identity

Примери за втората частична сума при няколко различни стойности на [tex]n[/tex], откъдето се вижда че стойността на втората сума е в десетични редове по-малка от тази на първата сума:

Скрит текст: покажи

[tex]n=10, n\cdot{}{{\frac{3n}{2}-1}\choose{\frac{n}{2}}}=3003, \sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{(k-1)\cdot{}{{n-k}\choose{k-1}}}=130\\[/tex]

Screenshot 2024-05-22 112415.png (6.99 KiB) Прегледано 318 пъти

[tex]\\n=48, n\cdot{}{{\frac{3n}{2}-1}\choose{\frac{n}{2}}}=7,95026\cdot{}10^{18}, \sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{(k-1)\cdot{}{{n-k}\choose{k-1}}}=6,1857842448\cdot{10^{10}}\\[/tex]

Screenshot 2024-05-22 112806.png (48.65 KiB) Прегледано 318 пъти

[tex]\\n=80, n\cdot{}{{\frac{3n}{2}-1}\choose{\frac{n}{2}}}=1.1457\cdot{}10^{32}, \sum^{\frac{n}{2}}_{k=1}{(k-1)\cdot{}{{n-k}\choose{k-1}}}=5,08411271416759\cdot{10^{17}} \\[/tex]

Screenshot 2024-05-22 113003.png (75.5 KiB) Прегледано 318 пъти