лесно, директно

[martin123456]

[tex]a,b,c \in \mathbb{R}[/tex], [tex]a>0[/tex]. [tex]T(x)=ax^2+bcx+b^3+c^3-4abc[/tex] няма реални корени. Докажете, че един от полиномите приема строго положителни стойности: [tex]T_1(x)=ax^2+bx+c[/tex] и [tex]T_1(x)=ax^2+cx+b[/tex].

[dim]

Дискриминантата на [tex]T(x)[/tex] е [tex]D=b^2c^2-4a(b^3+c^3-4abc)=(b^2-4ac)(c^2-4ab)=D_1.D_2<0[/tex], където [tex]D_1[/tex] и [tex]D_2[/tex] са съответно дискриминанти на [tex]T_1(x)[/tex] и [tex]T_2(x)[/tex]. Тъй като [tex]a>0[/tex], единият полином винаги ще приема само положителни стойности.

[martin123456]

да