разстояние между център на окръжност и ортоцентър

[Гост]

В окръжност с радиус R е вписан триъгълник, два от ъглите на който са
съответно 45 и 60. Да се намери разстоянието между центъра на окръжността и
ортоцентъра на триъгълника.

[Гост]

Центърът на описаната окръжност и ортоцентъра лежат на една права друго не се сещам какво да използвам
Как да я реша ??

[Евва]

R(2-[tex]\sqrt{3}[/tex]) ли е отговора ?

[Гост]

Да

[Гост]

Бях решавал същата задача в раздел „ГЕОМЕТРИЯ ФОРУМ“ / подраздел „Геометрия“ / тема „Планиметрия и стереометрия“ от 23.05.2024, 18:14, но получих друг отговор.

Ето го и решението.

Планиметрия-page-001.jpg (159.05 KiB) Прегледано 353 пъти

[Евва]

Скрит текст: покажи

Намерих грешка в решението си и я поправих .

центр.[tex]\angle[/tex]АОС=2впис.[tex]\angle[/tex]АВС ; [tex]\angle[/tex]АОС=120[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АОС е равнобедрен и намираме [tex]\angle[/tex]АСО= [tex]\frac{180 ^\circ-120 ^\circ }{2}[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
за [tex]\triangle[/tex]А[tex]С_{1 }[/tex]С [tex]\angle[/tex]АС[tex]С_{1 }[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] ,тогава [tex]\angle[/tex]ОСН=[tex]\angle[/tex]АС[tex]С_{1 }[/tex]-[tex]\angle[/tex]АСО =45[tex]^\circ-30 ^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]ОСН=15[tex]^\circ[/tex] (1)

СН=?
([tex]\triangle[/tex]АВС-sin T) [tex]\frac{BC}{sin45 ^\circ }[/tex]=2R ;BC=R[tex]\sqrt{2}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]BC-прав.) sin15[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{ B_{1 }C }{BC}[/tex] ; [tex]B_{1 }[/tex]C=R[tex]\sqrt{2}[/tex].sin15[tex]^\circ[/tex] (3)
([tex]\triangle[/tex][tex]В_{1 }[/tex]НС-прав.) cos[tex]\angle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]CH=[tex]\frac{ B_{1 }C }{CH}[/tex] ; cos45[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{R \sqrt{2}.sin15 ^\circ }{CH}[/tex] ; CH=2Rsin15[tex]^\circ[/tex] (4)
([tex]\triangle[/tex]OHC -cos T) [tex]OH^{2 }= OC^{2 } + CH^{2 }[/tex]-2OC.CHcos15[tex]^\circ[/tex]

[tex]OH^{2 } = R^{2 } +4 R^{2 } sin^{2 }15 ^\circ[/tex]-2R2Rsin15[tex]^\circ[/tex].cos15[tex]^\circ[/tex]
[tex]OH^{2 } = R^{2 } +4R^{2 }. \frac{1-cos30 ^\circ }{2} -2 R^{2 }sin30 ^\circ[/tex]
[tex]OH^{2 } = R^{2 }+2 R^{2 }(1- \frac{ \sqrt{3} }{2}) -2 R^{2 }. \frac{1}{2}[/tex]
[tex]OH^{2 } = R^{2 }(2- \sqrt{3})[/tex] ; OH=R[tex]\sqrt{2- \sqrt{3} }[/tex] има формула за преобразуване на радикали

OH=R[ [tex]\sqrt{ \frac{2+ \sqrt{ 2^{2 }-3 } }{2} } - \sqrt{ \frac{2- \sqrt{ 2^{2 }-3 } }{2} }[/tex] ] =R[tex]\frac{ \sqrt{3} -1}{ \sqrt{2} } =R \frac{ \sqrt{6} -\sqrt{2} }{2}[/tex]