Real solution

[man111]

If [tex]\displaystyle a>\frac{1}{2}[/tex]. Then number of real solution of [tex]\displaystyle \sqrt{x^2 +2ax-a^2}+\sqrt{x^2-2ax-a^2}=1[/tex]

[Гост]

If [tex]\displaystyle a>\frac{1}{2}[/tex]. Then number of real solution of [tex]\displaystyle \sqrt{x^2 +2ax-a^2}+\sqrt{x^2-2ax-a^2}=1[/tex]

Според мен ,реалните решения са само за [tex]a \in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})[/tex], а [tex]a > \frac{1}{2}[/tex] е извън този интервал.

[Гост]

If [tex]\displaystyle a>\frac{1}{2}[/tex]. Then number of real solution of [tex]\displaystyle \sqrt{x^2 +2ax-a^2}+\sqrt{x^2-2ax-a^2}=1[/tex]

man, pusni i ti nekvo reshenie we...

[Гост]

Answer-page-001.jpg (139.1 KiB) Прегледано 400 пъти

[S.B.]

If [tex]\displaystyle a>\frac{1}{2}[/tex]. Then number of real solution of [tex]\displaystyle \sqrt{x^2 +2ax-a^2}+\sqrt{x^2-2ax-a^2}=1[/tex]

Още един поглед върху задачата

[tex]\sqrt{ x^{2 } + 2ax - a^{2 } } + \sqrt{ x^{2 } - 2ax - x^{2 } } = 1 \Leftrightarrow \sqrt{ x^{2 } + 2ax - a^{2 } } = 1 - \sqrt{ x^{2 } - 2ax - a^{2 } }[/tex]

[tex]( \sqrt{ x^{2 } + 2ax - a^{2 } }) ^{2 } = (1 - \sqrt{ x^{2 } -2ax - a^{2 } }) ^{2 } \Leftrightarrow 1 - 4ax = 2 \sqrt{ x^{2 }- 2ax - a^{2 } }[/tex]

[tex](1 - 4ax)^{2 } = (2 \sqrt{ x^{2 } - 2ax - a^{2 } }) ^{2 } \Leftrightarrow (4 - 16 a^{2 }) x^{2 } = 1 + 4 a^{2 }[/tex]

Получи се параметричното уравнение:
$$4(1 - 4 a^{2 })x^{2 } = 1 + 4 a^{2 } $$
[tex]1 + 4a^{2 } > 0[/tex] за [tex]\forall a[/tex]
За [tex]4(1 - 4 а^{2 }) = 4(1 + 2a)(1 - 2a)[/tex] има 2 възможности:
1)
[tex](1 + 2a)(1 - 2a) = 0 \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{2}[/tex]
Тогава :
[tex]0. x^{2 } = 1 + 4 а^{2 } \Rightarrow[/tex] за [tex]a = \pm \frac{1}{2}[/tex] няма решение

2) [tex]4(1 - 2a)(1 + 2a) \ne 0[/tex]
Тогава за да бъде $x$ реално число трябва да е изпълнено:
[tex]x^{2 } = \frac{1 + 4 a^{2 } }{4(1 + 2a)(1 - 2a)} >0 \Rightarrow 4(1 + 2a)(1 - 2a) >0 \Rightarrow a \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2} )[/tex]
От тук идва и отговорът на въпроса дали уравнението има реални решения за [tex]a> \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \notin ( - \frac{1}{2} , \frac{1}{2}) \Rightarrow[/tex] за [tex]a> \frac{1}{2}[/tex] уравнението няма реални решения.

[man111]

Answer-page-001.jpg

Thanks.