Модулно, ирационално, логаритмично, параметрично уравнение

[ins-]

За кои стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] уравнението:
[tex]log_{\sqrt{2-x}}{|x^2 + 4a|} = 4[/tex]
има точно 3 (реални) корена?

[S.B.]

За кои стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] уравнението:
[tex]log_{\sqrt{2-x}}{|x^2 + 4a|} = 4[/tex]
има точно 3 (реални) корена?

[tex]\log_{ \sqrt{2 - x} }| x^{2 } + 4a| = 4[/tex]

[tex]\text Д.М. : x < 2[/tex]

[tex]\log_{ \sqrt{2 - x} } | x^{2 } + 4a| = 4 \Leftrightarrow (\sqrt{2 - x}) ^{4 } = | x^{2 }+ 4a| \Leftrightarrow | x^{2 } + 4a| = (2 - x)^{2 } \Leftrightarrow | x^{2 } + 4a| = 4 - 4x + x^{2 }[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2 } + 4a = \begin{cases} 4 - 2x + x^{2 } \\ -(4 - 2x + x^{2 } )\end{cases}[/tex]

1)
[tex]x^{2 } + 4a = 4 - 4x + x^{2 } \Leftrightarrow 4a = 4(1 - x) \Leftrightarrow a = 1 - x \Rightarrow x = 1 - a[/tex]
[tex]\begin{cases} x < 2\\ x = 1 - a \end{cases} \Rightarrow 1 - a < 2 \Rightarrow a > -1[/tex]


[tex]\Rightarrow[/tex] за $a > - 1$ съществува точно един реален корен принадлежащ на Д.М.

2)
[tex]x^{2 } + 4a = - (4 -4x + x^{2 } )\Leftrightarrow x^{2 } + 4a = -4 +4x - x^{2 } \Leftrightarrow 2 x^{2 } - 4x + 4(a + 1) = 0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]x^{2 } - 2x + 2(a + 1) = 0 , D = 4 -8(a + 1)[/tex]

[tex]D > 0 \Leftrightarrow 4 - 8(a + 1) > 0 \Leftrightarrow 2a< -1 \Rightarrow a < - \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]a < -\frac{1}{2}[/tex] съществуват реални корени [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex]

[tex]x^{2 } - 2x + 2(a + 1) = 0[/tex]
Според формулите на Виет [tex]x_{1 } + x_{2 } = - (-2) \Rightarrow x_{1 } + x_{2 } = 2 \Rightarrow x_{1 } < 2 , x_{2 }< 2[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]a < - \frac{1}{2}[/tex] съществуват точно 2 реални корена [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex],които принадлежат на Д.М.

Обобщение :
1) За $a > - 1$ съществува точно 1 реален корен, принадлежащ на Д.М.
2) За [tex]a < - \frac{1}{2}[/tex] съществуват точно 2 различни реални корена,принадлежащи на Д.М.
Или общо са 3 реални корена принадлежащи на Д.М.

[ins-]

Благодаря за решението и положените усилия! В решението, което имам задачата е с малко по-различно множество от допустими стойности.
И в двете решения не се проверява дали: [tex]x^2 \ge -4a[/tex] или [tex]x^2 \lt -4a[/tex]. Този момент ми се губи. Защо не се прави тази проверка?

[Гост]

Благодаря за решението и положените усилия! В решението, което имам задачата е с малко по-различно множество от допустими стойности.
И в двете решения не се проверява дали: [tex]x^2 \ge -4a[/tex] или [tex]x^2 \lt -4a[/tex]. Този момент ми се губи. Защо не се прави тази проверка?

Според мен тази проверка трябва да се направи, макар да е тривиална:
В първия случай очевидно (1-a)^2>=-4a, т.е. (a+1)^2>=0, което е вярно за всяко а
Във втория случай чрез сумиране x1^2+x2^2<-8a, откъдето a<0, което също ни устройва, защото така или иначе a<-1/2

[Гост]

С описанието от последния коментар + проверки за допълнителните стойности извън множеството на допустимите стойности би трябвало да стане напълно ясно и коректно решение.

Задачата е давана като подточка от задача на общински кръг на НОМ. Струва ми се доста тегава за такова състезание. Иначе, като "тема за размисъл" след самото състезание е готина. Това е моята гледна точка и не е единствената възможна.

[ammornil]

[tex]x^{2}+4a\ne{0}[/tex] защото е аргумент на логаритъм. Ако това неравенство е изпълнено, всички други стойности на модула са в допустимите на логартимичната функция и няма нужда да се изследват. $$ \log_{A}{B} \rightarrow \begin{cases} A>0 \\ A\ne{1} \\ B>0 \end{cases} $$

[S.B.]

Благодаря за решението и положените усилия! В решението, което имам задачата е с малко по-различно множество от допустими стойности.
И в двете решения не се проверява дали: [tex]x^2 \ge -4a[/tex] или [tex]x^2 \lt -4a[/tex]. Този момент ми се губи. Защо не се прави тази проверка?

Разбирам,че Вие говорите за разделяне на Д.М. на $x$ на две подмножества: [tex]x^{2 } \ge - 4a[/tex] или [tex]x^{2 } < - 4а[/tex] над които да се разгледа полученото уравнение, но трябва да забележите,че не става въпрос за $x$, а за [tex]x^{2 }[/tex], което е различно.
Все пак аз наистина имам пропуск в Д.М. и на $x$ и на $a$

Да започнем от дефиницията на логаритъм:
[tex]\log_{m }n = t \Leftrightarrow m^{t } = n[/tex] , където :[tex]m >0,m\ne1, n >0[/tex]

1)
В случая [tex]m = \sqrt{2 - x} \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{2 - x}> 0 \\ \sqrt{2 - x} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 - x > 0 \\2 - x \ne 1\end{cases} \Rightarrow \text Д.М. :\begin{cases} x < 2 \\ x \ne 1\end{cases}[/tex]
Моят пропуск,че не бях предвидила,че [tex]x \ne 1[/tex]

2)
В случая [tex]n = | x^{2 }+ 4a|[/tex] - очевидно е ,че [tex]|x^{2 } + 4a| > 0[/tex] , но не съм направила проверка кога приема нулева стойност,която е забранена:
[tex]| x^{2 } + 4a| = 0 \Leftrightarrow x^{2 } + 4a = 0 \Leftrightarrow x^{2 } = -4a[/tex]
[tex]x^{2 } > 0 \Rightarrow -4а > 0 \Rightarrow а< 0[/tex], което се отнася за Д.М. на $a$, а не за Д.М. на $x$
[tex]| x^{2 } + 4a| = (2 - x)^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } +4a = \begin{cases} (2 - x)^{2 } \\ - (2 - x)^{2 } \end{cases}[/tex]

От първия случай се получава, че уравнението има 1 корен за [tex]a \in (- 1; 0)[/tex]
От втория случай се получават 2 различни корена за [tex]a < - \frac{1}{2}[/tex]

[ins-]

Разбирам,че Вие говорите за разделяне на Д.М. на $x$ на две подмножества: [tex]x^{2 } \ge - 4a[/tex] или [tex]x^{2 } < - 4а[/tex] над които да се разгледа полученото уравнение, но трябва да забележите,че не става въпрос за $x$, а за [tex]x^{2 }[/tex], което е различно.

[tex]x^2[/tex] e различно от [tex]x[/tex], но влече ограничения за [tex]x[/tex], а от там и проверките, направени от Гост.

[Гост]

[tex]x^2[/tex] e различно от [tex]x[/tex], но влече ограничения за [tex]x[/tex], а от там и проверките, направени от Гост.

Представете Ваше решение с друго дефиниционно множество за [tex]x[/tex].

[Гост]

[tex]x^2[/tex] e различно от [tex]x[/tex], но влече ограничения за [tex]x[/tex], а от там и проверките, направени от Гост.

Представете Ваше решение с друго дефиниционно множество за [tex]x[/tex].

Не знам дали разбирам въпроса правилно, но ще представя мое решение.

Заради логаритъма и подкоренната величина ДМ е: [tex]x \lt 2[/tex], [tex]x \ne 1[/tex], [tex]x\ne\pm2\sqrt{a}[/tex].

При тези ограничения уравнението е еквивалентно на: [tex]|x^2 + 4a| = (2-x)^2[/tex].

От лявата и дясната страна на равенството имаме положителни изрази (заради модула, квадрата и ДМ. Следователно можем да повдигнем на втора степен.

Така получаваме: [tex](x^2+4a)^2=((2-x)^2)^2 \Leftrightarrow (x^2 + 4a + (2-x)^2)(x^2+4 a - (2 - x)^2[/tex] ...

[tex](x^2 - 2 x + 2 a + 2)(x+a-1)=0[/tex].

Това уравнение може да има най-много 3 корена. За да са точно 3 те трябва да са реални и да принадлежат на ДМ

Точните корени на уравнението са: [tex]x_1 = 1 - \sqrt(-1 - 2 a)[/tex], [tex]x^2 = 1 + \sqrt(-1-2a)[/tex], [tex]x_3 = 1 - a[/tex].

За да са реални [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] - [tex]-1-2 a \ge 0[/tex] или [tex]a \le \frac{1}{2}[/tex]. При [tex]a=-1/2[/tex] уравнението има един двукратен корен и един еднократен, затова: [tex]a \lt -\frac{1}{2}[/tex].

За да принадлежи [tex]x_1[/tex] на ДМ трябва да са в сила едновременно зависимостите: [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} < 2[/tex], [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} \ne 1[/tex], [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} \ne 2 \sqrt{a}[/tex], [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} \ne -2 \sqrt{a}[/tex].

Това се случва при [tex]a \le \frac{1}{2}[/tex]. 1)

За да принадлежи [tex]x_2[/tex] на ДМ трябва да са в сила едновременно зависимостите: [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} < 2[/tex], [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} \ne 1[/tex], [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} \ne 2 \sqrt{a}[/tex], [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} \ne -2 \sqrt{a}[/tex].

Това се случва при [tex]-1 < a < - \frac{1}{2}[/tex]. 2)
При [tex]a=-1[/tex] уравнението има един двукратен и един еднократен корен. Затова изключваме [tex]-1[/tex] като възможна стойност на [tex]a[/tex].

За да принадлежи [tex]x_3[/tex] на ДМ трябва да са в сила едновременно зависимостите: [tex]1-a <2[/tex], [tex]1-a \ne 1[/tex], [tex]1-a \ne 2\sqrt{a}[/tex], [tex]1-a \ne -2 \sqrt{a}[/tex].
Това се случва при [tex]a \gt -1[/tex], [tex]a \ne 0[/tex], [tex]a \ne 3 - 2 \sqrt{2}[/tex], [tex]a \ne 3 + 2 \sqrt{2}[/tex]. 3)

След като направим сечение на 1), 2), 3) получаваме, че за да има точно 3 (различни) корена началното уравнение [tex]a \in (-1;-\frac{1}{2})[/tex].

Това завършва решението.

Друго възможно решение е да се разкрие модулът със знак + и със знак -, като при първия случай към ДМ да се добавя неравенството/ограничението: [tex]x^2 > - 4 a[/tex] и да се провери за кои стойности на [tex]a[/tex] [tex]x_1[/tex], [tex]x^2[/tex], [tex]x_3[/tex] сa решения на това неравенство. При втория случай към ДМ се добавя ограничението/неравенството [tex]x^2 < -4[/tex] и се проверява за кои стойности на [tex]a[/tex] [tex]x_1[/tex], [tex]x^2[/tex], [tex]x_3[/tex] сa решения на това неравенство.

[ins-]

Бях допуснал грешки. Тук са поправени тези, които открих. Представените варианти за решения не са нито кратки, елегантни, изчерпателни, но ако нямам още грешки би трябвало да са коректни като идея и да могат да послужат като основа за по-детайлни решения. Извинявам се за забавянето в отговора!

Заради логаритъма и подкоренната величина ДМ е: [tex]x \lt 2[/tex], [tex]x \ne 1[/tex], [tex]x\ne\pm2\sqrt{-a}[/tex].

При тези ограничения уравнението е еквивалентно на: [tex]|x^2 + 4a| = (2-x)^2[/tex].

От лявата и дясната страна на равенството имаме положителни изрази (заради модула, квадрата и ДМ. Следователно можем да повдигнем на втора степен.

Така получаваме: [tex](x^2+4a)^2=((2-x)^2)^2 \Leftrightarrow (x^2 + 4a + (2-x)^2)(x^2+4 a - (2 - x)^2)[/tex] ...

[tex](x^2 - 2 x + 2 a + 2)(x+a-1)=0[/tex].

Това уравнение може да има най-много 3 корена. За да са точно 3 те трябва да са реални и да принадлежат на ДМ

Точните корени на уравнението са: [tex]x_1 = 1 - \sqrt{-1 - 2 a}[/tex], [tex]x^2 = 1 + \sqrt{-1-2a}[/tex], [tex]x_3 = 1 - a[/tex].

За да са реални [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] - [tex]-1-2 a \ge 0[/tex] или [tex]a \le \frac{1}{2}[/tex]. При [tex]a=-1/2[/tex] уравнението има един двукратен корен и един еднократен, затова: [tex]a \lt -\frac{1}{2}[/tex].

За да принадлежи [tex]x_1[/tex] на ДМ трябва да са в сила едновременно зависимостите: [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} < 2[/tex], [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} \ne 1[/tex], [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} \ne 2 \sqrt{-a}[/tex], [tex]1 - \sqrt{-1 - 2 a} \ne -2 \sqrt{-a}[/tex].

Това се случва при [tex]a \le \frac{1}{2}[/tex]. 1)

За да принадлежи [tex]x_2[/tex] на ДМ трябва да са в сила едновременно зависимостите: [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} < 2[/tex], [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} \ne 1[/tex], [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} \ne 2 \sqrt{-a}[/tex], [tex]1 + \sqrt{-1 - 2 a} \ne -2 \sqrt{-a}[/tex].

Това се случва при [tex]-1 > a > - \frac{1}{2}[/tex]. 2)
При [tex]a=-1[/tex] уравнението има един двукратен и един еднократен корен. Затова изключваме [tex]-1[/tex] като възможна стойност на [tex]a[/tex].

За да принадлежи [tex]x_3[/tex] на ДМ трябва да са в сила едновременно зависимостите: [tex]1-a <2[/tex], [tex]1-a \ne 1[/tex], [tex]1-a \ne 2\sqrt{-a}[/tex], [tex]1-a \ne -2 \sqrt{-a}[/tex].
Това се случва при [tex]a \gt -1[/tex], [tex]a \ne 0[/tex]. 3)

След като направим сечение на 1), 2), 3) получаваме, че за да има точно 3 (различни) корена началното уравнение [tex]a \in (-1;-\frac{1}{2})[/tex].

Това завършва решението.

Друго възможно решение е да се разкрие модулът със знак + и със знак -, като при първия случай към ДМ да се добавя неравенството/ограничението: [tex]x^2 > - 4 a[/tex] и да се провери за кои стойности на [tex]a[/tex] [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex], [tex]x_3[/tex] сa решения на това неравенство. При втория случай към ДМ се добавя ограничението/неравенството [tex]x^2 < -4[/tex] и се проверява за кои стойности на [tex]a[/tex] [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex], [tex]x_3[/tex] сa решения на това неравенство.