мхм

[martin123456]

Докажете неравенството и покажете кога е в сила равенството:
[tex]1^x+2^x+6^x+12^x \geq 4^x+8^x+9^x[/tex].

[martin123456]

[tex]f(x)=3^x-2^x-1[/tex], [tex]f(x)[/tex] e строго растяща и [tex]f(1)=0[/tex] => [tex]f(x) < 0[/tex] за [tex]x<1[/tex] и [tex]f(x)>0[/tex] за [tex]x>1[/tex].
[tex]g(x)=4^x-3^x-1[/tex], [tex]g(x)[/tex] намалява в [tex](-\infty,a)[/tex] и расте в [tex](a,+\infty)[/tex] за някое [tex]a<0[/tex]. [tex]g(1)=0[/tex]=> [tex]g(x) < 0[/tex] за [tex]x<1[/tex] и [tex]g(x)>0[/tex] за [tex]x>1[/tex].
=>[tex]f(x)g(x)>0 \hspace{2mm} \forall x \ne 1[/tex] и [tex]f(1)g(1)=0[/tex].Но [tex]f(x)g(x)=(3^{x}-2^{x}-1)(4^{x}-3^{x}-1)=(12^{x}+6^{x}+2^{x}+1)-(9^{x}+8^{x}+4^{x})[/tex].
равенство за [tex]x=1[/tex]

[garion]

[tex]f(x)=3^x-2^x-1[/tex], [tex]f(x)[/tex] e строго растяща

да, ама не
[tex]f(-3) = \frac{1}{27}-\frac{1}{8}-1= \frac{8-27}{8.27}-1= -\frac{19}{8.27}-1[/tex]
[tex]f(-2) = \frac{1}{9}-\frac{1}{4}-1= \frac{4-9}{4.9}-1= -\frac{5}{4.9}-1= -\frac{30}{8.27}-1<f(-3)[/tex]

[martin123456]

прав си, трябва да е както за g

[martosss]

[tex](3^{x}-2^{x}-1)(4^{x}-3^{x}-1)[/tex]

Това разлагане как го измисли? Това даже да знаех че се разлага нямаше да знам как да го разложа!
Иначе така разложено имаме
[tex](3^{x}-2^{x}-1)(4^{x}-3^{x}-1)\ge 1\;\;\; \backslash :3^x*4^x\\\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x+\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right)\left(\left(\frac{3}{4}\right)^x+\left(\frac{1}{4}\right)^x-1\right)\ge 0[/tex]
Сега за x<0 неравенството е изпълнено, тъй като [tex]\left(\frac{2}{3}\right)^x>1[/tex] и [tex]\left(\frac{3}{4}\right)^x>1[/tex].
За х=0 н-ството е еквивалнтно на 1?0, остава ни да го докажем за x>0, което още не съм го измислил, но предполагам може да стане с още някое преобразувание или СА-СГ??

Ето, сетих се нещо със СА-СГ:
[tex]\underbrace{(2^x+1-3^x)(3^x+1-4^x)}_{A}\ge 0[/tex]
[tex]2^x+1\ge 2(\sqrt 2)^x, 3^x+1\ge 2(\sqrt 3)^x[/tex]
Оттук неравенството става
[tex]A\ge (2(\sqrt 2)^x-3^x)(2*(\sqrt 3)^x-4^x)\ge^{?} 0[/tex]
[tex](3^x-2(\sqrt 2)^x)(4^x-2(\sqrt 3)^x)\ge^{?} 0[/tex] делим на [tex](\sqrt 6)^x[/tex] и получаваме
[tex]\left(\left(\frac{3}{\sqrt 2}\right)^x-2\right)\left(\left(\frac{4}{\sqrt 3}\right)^x-2\right)\ge^{?} 0[/tex]
което от своя страна е изпълнено за x>1.
При х=1 имаме равенство.
Остава да докажем, че н-ството е изпълнено при 0<x<1.

[martin123456]

това не е ралагане, а уножение
x не е задължително да е неотриц мисля
пп видях че си проверил за < 0, ок

[martosss]

Така, горният пост си го поправих и доказах и за x>1.
Остана за 0<x<1.
То всъщност за x>0 може да се разсъждава направо:

[tex]\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x+\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right)\left(\left(\frac{3}{4}\right)^x+\left(\frac{1}{4}\right)^x-1\right)\ge 0[/tex]

Всъщност за 0<x<1 имаме, че горното неравенство отново е изпълнено, понеже
[tex]\frac{2}{3}<\left(\frac{2}{3}\right)^x<1[/tex] и аналогично за останалите, откъдето двете скоби са отрицателни, тоест произведението им е положително. Тогава неравенството е изпълнено.
С това задачата е решена - неравенство е винаги налице, като равенство се достига при х=1.

Именно разлагане си е - представяш сбор и разлика като произведение. Интересно ми е как се сети да ги представиш така.