Задача от общински кръг 11 кл.

[Гост]

Четириъгълник ABCD e вписан в окръжност w и DB е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]ADC
а) Ако AD =12, DC=10, радиусът на w R=10, да се намерят останалите страни и двата диагонала.

б) ако радиусът на w R=7sqrt3/3, радиусът на вписаната в [tex]\triangle[/tex]ACD окръжност е r=sqrt3/2 и [tex]\angle[/tex]ADC=120[tex]^\circ[/tex], да се намери BD]\

а) С косинусова теорема получих [tex]\triangle[/tex]DAC - правоъгълен, оттам AC =16. Не знам как да продължа. б) въопще не съм започвал.
Моля за помощ

[batsev]

За а) [tex]12^{2 }[/tex] + [tex]10^{2 }[/tex] не е [tex]16^{2 }[/tex]. Така че [tex]\angle[/tex]ADC не е прав. И все пак от синусова теорема в [tex]\triangle[/tex]ADC могат да се намерят ъглите срещу AD и срещу DC, т.е. ще можем да намерим и [tex]\angle[/tex]DAC и страната AC. [tex]\angle[/tex]ABC = 180 - [tex]\angle[/tex]DAC, отделно [tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\angle[/tex]ACB понеже DB е ъглополовяща. Т.е [tex]\triangle[/tex]ABC равнобедрен, имаш основа и ъгъл срещу нея, значи можем да намерим и бедрата.
За б) от синусова теорема за [tex]\triangle[/tex]ADC намираме AC. Нека DB [tex]\cap[/tex] l( ъгъл CAD) в т.L и LP[tex]\bot[/tex]AD, т,е LP = r. В [tex]\triangle[/tex]LPD
PD = p - AC, и по този начин намираме p(полупериметъра). Чрез него имаме връзка между AD и DC. От косинусова за [tex]\triangle[/tex]ADC също имаме връзка между AD и DC, правим система и ги намираме. Така имаме всичко в [tex]\triangle[/tex]ADC, намираме и [tex]\angle[/tex]ACD. [tex]\triangle[/tex]ABC е равностранен в случая (ъгъл B е 60), значи AC = BC. Имаме BC, CD, [tex]\angle[/tex]BCD = 60 + [tex]\angle[/tex]ACD, правим косинусова и намираме BD.
Дано съм бил полезен.

[ptj]

a.)
[tex]DC=R[/tex] сл. съответната дъга има мярка [tex]60 ^\circ \Rightarrow \angle {DAC}= \alpha=30 ^\circ[/tex]

[tex]\angle {DCA}= \gamma[/tex]

[tex]sin( \gamma )= \frac{AD}{2R} = \frac{12}{20}= \frac{3}{5} \Rightarrow cos( \gamma)= \frac{4}{5}[/tex] (синусова теорема)

[tex]\angle {ADC}= \delta =180 ^\circ-( \alpha+ \gamma )[/tex] (ъгли в триъгълник)

[tex]sin( \delta )=sin(180 ^\circ -( \alpha+ \gamma ))=sin( \alpha+ \gamma )=sin (\alpha).cos (\gamma)+cos( \alpha ).sin( \gamma )= \frac{1}{2}. \frac{4}{5}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}. \frac{3}{5}= \frac{4+3 \sqrt{3} }{10}[/tex]

[tex]AC=2R.sin(\angle {ADC})=2R.sin( \delta )=20. \frac{4+3 \sqrt{3} }{10}=8+6 \sqrt{3}[/tex]

[tex]cos( \delta)= \sqrt{ 1-sin^2( \delta )}= \frac{3-4 \sqrt{3} }{10}[/tex]

[tex]cos(\delta)=cos^2( \frac{ \delta }{2} )-sin^2( \frac{ \delta }{2} )=1-2sin^2( \frac{ \delta }{2} ) \Leftrightarrow sin( \frac{ \delta }{2} )= \sqrt{\frac{1-cos( \delta )}{2}}= \frac{2- \sqrt{3} }{2 \sqrt{5} }[/tex]

[tex]cos(\frac{ \delta }{2})= \sqrt{1-sin^2( \frac{ \delta }{2} )} =\sqrt{ \frac{20-(2^2-2.2. \sqrt{3}+( \sqrt{3} )^2) }{20}}=\sqrt{ \frac{13+4 \sqrt{3} }{20}}= \sqrt{ \frac{1+2.1.2 \sqrt{3}+12 }{20}}= \frac{1+2 \sqrt{3} }{2 \sqrt{5} }[/tex]

Сега вече от синусова теорема можеш да намериш [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex].

Диагонала [tex]DB[/tex] подобно на другия, т.е. чрез синусова теорема за [tex]\triangle DBC[/tex].

П.П. При сметки с косинусова теорема са правят доста повече грешки, отколкото при работа със синусова.
Единствената трудност е може би при намирането на точната стойност на тригонометричните функции, когато е свързана с извличане на квадрат от ирационален израз.
Т.е. необходимо е да се намери подходящо негово представяне като квадрат на друг ирационален израз, но с идеята заимствана от квадратичните полета възможните случаи винаги са много малко.

[Евва]

Има ли право да се използва теоремата на Птоломей ?
a) Получих АВ=ВС= 2[tex]\sqrt{70}[/tex], BD=20 ,AC=[tex]\frac{11 \sqrt{70} }{5}[/tex]
Може ли отговорите ?