Общински кръг 11 клас

[Гост]

В успоредник ABCD страната AB=2 и ъгъл BAD=45⁰.
Точките E и F върху диагонала BD са такива, че ъгъл AEB=CFD=90⁰ и 2BF=3BE.
Намерете лицето на успоредника.
Моля Ви за помощ

[Евва]

В/у страната АВ нанасяме т.Н така ,че DH[tex]\bot[/tex]AB .
(Сигурно трябва да се разгледа и 2 случай ,когато т.Н не лежи на отс. АВ .)
Тогава [tex]\triangle[/tex]AHD е равнобедрен AH=DH=h ;BH= 2-h ,нека [tex]\angle[/tex]HBD=[tex]\beta[/tex]
2BF=3BE [tex]\Rightarrow[/tex] BE=[tex]\frac{2}{3}[/tex]BF (1)
Това означава ,че EF=[tex]\frac{1}{3}[/tex]BF (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] Нанасяйки т.[tex]M_{1 }[/tex] -среда на отс.BE и т.[tex]M_{2 }[/tex] -среда на отс.DF ще се окаже ,че
[tex]B M_{1 }=E M_{1 }=EF=F M_{2 }=D M_{2 }[/tex]
Нека B[tex]M_{1 }[/tex]=d [tex]\Rightarrow[/tex] BD=5d (3)
d=? h=?

[tex]\triangle[/tex]ABE[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]HBD (1 признак )
[tex]\frac{AB}{BD}= \frac{BE}{HB}[/tex] ; [tex]\frac{2}{5d}= \frac{2d}{2-h}[/tex] ;[tex]5d^{2 }=2-h[/tex] ; 25[tex]d^{2 }[/tex]=10 -5h (4)

( [tex]\triangle[/tex]HBD- правоъгълен ) [tex]DH^{2 } +HB^{2 } =BD^{2 }[/tex] ; [tex]h^{2 } +(2-h)^{2 } =(5d)^{2 }[/tex]
[tex]h^{2 } +4+h^{2 } -4h=25d^{2 }[/tex] (5)
Замести (4) в (5) и ще получиш h=[tex]\frac{3}{2}[/tex]

[tex]S_{ABCD }= AB.DH =2. \frac{3}{2} = 3[/tex]

[Гост]

Много ти благодаря.
Как се сещаш да построиш височина? Как толкова плавно виждаш всичко?
Искам да се науча да мисля по-математически

[Евва]

2 сл. ABCD - успоредник и височината DH към страната AB е такава ,че т. H не лежи на отсечката AB .
Тогава точките E ,F не лежат в/у диагонала BD и този случай отпада .

Знаем [tex]S_{успоредник } = a h_{a }[/tex] , ще намерим лицето ,ако намерим [tex]h_{a }[/tex]=DH .
Дори да не търсим лицето ,като е даден ъгъл от 45[tex]^\circ[/tex] ,често се сещаме да построим правоъг. триъгълник (който включва и дадения ъгъл от 45[tex]^\circ[/tex]) .
Построеният от нас тр-к е правоъгълен и равнобедрен .
Решението след това става по-лесно .

Решенията ми на чернова не винаги са плавни ,добри и кратки .
Преписвайки и гледайки реш. на белова ми хрумват хитрости ,тънкости и подобрения .

Според мен освен талант ,желание ти трябва и много ,много ,много отделено време .
Не на последно място ти трябва да повярваш в себе си !

Желая ти огромен успех !

[ptj]

Всичко е пропроционално на натрупания опит и това важи за всичко, не само за математиката. Процеса може да се ускори, когато около теб има подходящи катализатори, например уникални учители или идеални примери за подражаване. Важно е й нивото на обкръжаващите те индивиди и конкуренцията между тях. Последно трябва да имаш воля, да не се отказваш от пътя си...

Иначе конкретно за интуицията, тя идва по-късно. След игражадането на достатъчно голяма база с правилни решения нашия мозък сам намира подходящия път още при запознаване с проблема.
Това е като ученето на нов език. Ако се опитваш да започнеш с учебници и граматики е трудно, но ако си принуден да живееш сред хора говорещи единствено на него, един ще забележиш че разбираш части от тяхната реч. С времето ще се научиш да говориш и мислиш директо на същия език.
Интересното е, че накрая езика ти ще стане абсоютно безгрешен граматически, без да си учил нито едно от правилата на граматиката.