2023г. 11клас общински

[Гост]

Моля за помощ

[Евва]

б) BD е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]ADC т.е. [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\angle[/tex]BDC=60[tex]^\circ[/tex]
Нека AB=a ,AD=b ,CD=c .
BD=d=?
[tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\angle[/tex]ADB=60[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]BDC=60[tex]^\circ[/tex] (вписани ъгли)
Тогава [tex]\triangle[/tex]ABC е равностранен и прилагаме формулата AB=R[tex]\sqrt{3}[/tex] т.е. a=[tex]\frac{7 \sqrt{3} }{3} \sqrt{3}[/tex] ;a=7 (1)

[tex]\frac{abc}{4R}= S_{ACD }= \frac{a+b+c}{2}r[/tex]

[tex]\frac{7bc}{4. \frac{7 \sqrt{3} }{3} }[/tex]=[tex]\frac{7+b+c}{2} . \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] bc=7+ (b+c) (2)

ABCD е вписан в окръжност и от теоремата на Птолемей получаваме AC.BD=AB.CD+BC.AD
ad=ac+ab |:a[tex]\ne[/tex]0
d=b+c (3)

Скрит текст: покажи

Гледайки (2) и (3) търсим връзка м/у bc и b+c . Това е cos T за [tex]\triangle[/tex]ACD .

[tex]a^{2 } =b^{2 } +c^{2 }-2bc.cos120 ^\circ[/tex]
49=[tex]b^{2 } +c^{2 } -2bc( - \frac{1}{2}[/tex])
49=[tex](b+c)^{2 }[/tex]-2bc+bc
[tex](b+c)^{2 }[/tex]-bc-49=0 (4) Зам.(2) в (4)
[tex](b+c)^{2 }[/tex] -7-(b+c) -49=0 Ползваме (3)
[tex]d^{2 }[/tex] -d-56 =0 ;D=1-4(-56) =225 ; [tex]d_{1,2 } = \frac{1 \pm 15}{2}[/tex]
Единственият положителен корен е d=BD=8 .

[S.B.]

а)

Без заглавие - 2024-11-17T190602.982.png (224.89 KiB) Прегледано 278 пъти

Нека [tex]\angle ADC = 2 \alpha[/tex]
За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2 } = AD^{2 } + DC^{2 } - 2.AD.DC.\cos \angle ADC \Leftrightarrow AC^{2 } = 12^{2 } + 20^{2 } - 2.12.20.\cos 2 \alpha \Leftrightarrow[/tex]

$$AC^{2 } = 544 - 480.\cos \alpha $$
За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AC}{\sin \angle ADC} = 2R \Leftrightarrow \frac{AC}{\sin 2 \alpha } = 2.10 \Leftrightarrow AC = 20.\sin 2 \alpha[/tex] (*)
$$\Rightarrow AC^{2 } = 400. \sin^{2 }2 \alpha $$
Приравнявам и получавам:
[tex]400. \sin^{2 }2 \alpha = 544 - 480.\cos 2 \alpha \Leftrightarrow 400(1 - \cos^{2 }2 \alpha) = 544 - 480\cos 2 \alpha \Leftrightarrow[/tex]
[tex]400 \cos^{2 }2 \alpha - 480\cos 2 \alpha + 144 = 0 \Leftrightarrow 100\cos^{2 }2 \alpha - 120\cos 2 \alpha + 36 = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex](10\cos 2 \alpha) ^{2 } - 2.10\cos 2 \alpha.6 + 6^{2 } = 0 \Leftrightarrow (10\cos 2 \alpha - 6)^{2 } = 0 \Rightarrow 10\cos 2 \alpha = 6[/tex]
$$\Rightarrow \cos 2 \alpha = \frac{3}{5}, \sin 2 \alpha = \frac{4}{5} $$

[tex]AC = 20.\sin 2 \alpha \Leftrightarrow AC = 20. \frac{4}{5}[/tex] (*)
$$\Rightarrow AC = 16$$

$DB$ е ъглополовяща на [tex]\angle ADC \Rightarrow {\overset {\displaystyle \frown}{AB}} = {\overset {\displaystyle \frown}{BC}} \Rightarrow AB = BC[/tex] (На равни дъги принадлежат равни хорди)

За [tex]\triangle BCD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{BC}{\sin \angle BDC} = 2R \Leftrightarrow \frac{BC}{\sin \alpha } = 20 \Leftrightarrow BC = 20\sin \alpha[/tex]
[tex]\sin^{2 } \alpha = \frac{1 - \cos 2 \alpha }{2} = \frac{1 - \frac{3}{5} }{2} = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]
[tex]BC = 20\sin \alpha \Leftrightarrow BC = 20. \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]
$$\Rightarrow AB = BC = 4 \sqrt{5} $$

За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \angle DAC = \frac{ DC^{2 } - AD^{2 } - AC^{2 } }{- 2AD.AC} = \frac{ 20^{2 } - 12^{2 } - 16^{2 } }{- 2.12.16} = \frac{0}{-2.12.16} \Leftrightarrow \cos \angle DAC = 0 \Rightarrow \angle DAC = 90 ^\circ[/tex]
Получихме,че страната $DC$ се вижда под ъгъл [tex]90^\circ[/tex].
Четириъгълникът $ABCD$ е вписан [tex]\Rightarrow \angle DBC = \angle DAC = 90 ^\circ[/tex] (Измерват се с една и съща дъга [tex]{\overset{\displaystyle \frown}{DC}}[/tex])
[tex]\Rightarrow \triangle DBC[/tex] е правоъгълен и за него прилагам Питагорова теорема:
[tex]DC^{2 } = DB^{2 } + BC^{2 } \Leftrightarrow 20^{2 } = DB^{2 } + (4 \sqrt{5}) ^{2 } \Leftrightarrow DB^{2 } = 400 - 80 = 320[/tex]
$$\Rightarrow DB = 8 \sqrt{5} $$

$$AB = BC = 4 \sqrt{5} , AC = 16 , BD = 8 \sqrt{5} $$