Задача за трпец

[Гост]

Моля за малко помощ.
Диагоналите AC и BD на трапеца ABCD се пресичат в точка О и са перпендикулярни. Точката М е среда на ВС, а правите МО и AD са перпендикулярни и се пресичат в точка N.
Да се докаже, че AC=BD

[stefanb]

geogebra-export.png (328.21 KiB) Прегледано 398 пъти

OM=MC
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]MOC=[tex]\angle[/tex]MCO
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]BOM=90-[tex]\angle[/tex]MCO
[tex]\angle[/tex]NOD=[tex]\angle[/tex]BOM
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]NDO=90-[tex]\angle[/tex]NOD=90-[tex]\angle[/tex]BOM=90-90+[tex]\angle[/tex]MCO
[tex]\angle[/tex]NDO=[tex]\angle[/tex]MCO
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]DAO=[tex]\angle[/tex]CBO
[tex]\Rightarrow \triangle[/tex]AOD[tex]\approx \triangle[/tex]BOC
1)DO/AO=CO/BO
[tex]\triangle[/tex]AOB[tex]\approx \triangle[/tex]DOC
AO/CO=BO/DO
2)AO*DO=BO*CO
умножаваме 1)по 2)
[tex]DO^{2 }[/tex]=[tex]CO^{2 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle[/tex]AOD[tex]\cong \triangle[/tex]BOC
[tex]\Rightarrow[/tex]AD=BC
трапеца е равнобедрен

[Гост]

По кой признак твърдим, че [tex]\triangle[/tex]AOD[tex]\cong \triangle[/tex]BOC. Не откривам съответно равни стреани, има само ъгли.

[Гост]

А как би могала да се реши задачата без подобие? Тя е от състезание за девети клас.

[stefanb]

По кой признак твърдим, че [tex]\triangle[/tex]AOD[tex]\cong \triangle[/tex]BOC. Не откривам съответно равни стреани, има само ъгли.

DO=CO
Освен това двата триъгълника са не само подобни, но и равнолицеви защото AO*DO=BO*CO т.е. коеф. на подобие е 1. Без подобие трябва да се помисли, но сега не мога.

[Гост]

Трапец.png (30.04 KiB) Прегледано 350 пъти