Максимална стойност

[Гост]

Да се намери най-голямата стойност на израза $5b^{2}+12ab$, където $a$ и $b$ са реални числа, за които $a^{2}+b^{2}=1$.

[pal702004]

Тригонометрична постановка, двоен аргумент, и неравенство $k\sin x+n \cos x \le \sqrt{k^2+n^2}$

[Гост]

максимална стойност-page-001.jpg (23.56 KiB) Прегледано 364 пъти

[Гост]

Тригонометрична постановка, двоен аргумент, и неравенство $k\sin x+n \cos x \le \sqrt{k^2+n^2}$

Задачката е принципно от темата за $8-9$ клас. Може ли да покажете как става с тригонометрия?

[Гост]

максимална стойност-page-001.jpg

Благодаря Ви!

[pal702004]

$a=\cos x, b=\sin x$. Търси се максимума на $5 \cos^2 x+12 \sin x \cos x$

Има различни начини в зависимост от това какво е учено, един от тях

$=\dfrac{5(\cos{2x}+1)+12 \sin{2x}}{2}$

На практика се търси максимума на $5 \cos t+12\sin t=13\left(\dfrac{5}{13} \cos t+\dfrac{12}{13} \sin t\right)$

$\dfrac{5}{13}=\sin{\alpha}, \dfrac{12}{13}=\cos{\alpha}$. Получава се $13\sin(\alpha+t)$ с максимум $13$. (Обяснявам откъде идва неравенството от първия ми отговор)

Като добавим 5 и разделим на 2 се получава 9.

[Гост]

Тригонометрична постановка, двоен аргумент, и неравенство $k\sin x+n \cos x \le \sqrt{k^2+n^2}$

Това неравенство basic ли е? За 1 път го виждам. Ако можете да споделите и някакви интересни материали по тригонометрия, ще се радвам.