Задача от състезание 9 клас

[Гост]

Регламентът на кандидатстудентски изпит по математика включвал решаването на 40 задачи, като за
правилен отговор се давали 4 точки, за грешен отнемали 1, а за задача без отговор присъждали 0
точки. Най-малкият брой кандидати в изпита така, че поне трима от тях да имат равен брой точки е...?

[ammornil]

Регламентът на кандидатстудентски изпит по математика включвал решаването на 40 задачи, като за
правилен отговор се давали 4 точки, за грешен отнемали 1, а за задача без отговор присъждали 0
точки. Най-малкият брой кандидати в изпита така, че поне трима от тях да имат равен брой точки е...?

Не знам как да го обясня със знания за девети клас, но множеството от възможни резултати при така зададеното условие е [tex][-40; 160][/tex], което прави [tex]201[/tex] уникални резултата. За да имам поне три еднакви, трябва да имаме [tex]2\cdot{201}+1=403[/tex]. Това е така, защото взимаме най-лошия за нас случай, където в първите 402 резултата, няма три еднакви (имаме по два еднакви от всеки), тогава следващият резултат ще е еднакъв с поне една двойка съществуващ резултат.

Скрит текст: покажи

Когато имаме само верни отговори, това е най-високият възможен резултат и той е [tex]40\cdot{4}=160.\\[6pt][/tex] Когато имаме само грешни отговори, това е най-ниският възможен резултат който е [tex]40\cdot{}(-1)=-40.\\[6pt][/tex] Обхватът (множеството на възможните стойности) е [tex][-40; 160][/tex]

[Гост]

Отговор: 391 (2.195 + 1).

Решение: Основната „хитрина“, около която се „върти“ тази задача е, че не всички точки от – 40 до 160 са възможни.

Всички отрицателни точки от – 40 до – 1 са възможни, като комбинация от k задачи с грешен отговор и 40 – k задачи без отговор, k = 1, 2, 3, . . . , 39, 40.

Резултат от 0 точки се постига при 40 задачи без отговор.

Да разгледаме положителните резултати от вида 4k – 3. За постигането на подобен резултат ни трябват поне 3 задачи с грешен отговор и следователно, не може да имаме повече от 37 задачи с верен отговор.

Следователно, резултат от вида 4k – 3 е възможен при k = 1, 2, 3, . . . , 36, 37, но не е възможно да бъдат постигнати резултатите 4.38 – 3 = 149, 4.39 – 3 = 153 и 4.40 – 3 = 157.

Аналогично, за резултат от вида 4k – 2 ни трябват поне 2 задачи с грешен отговор, т.е. резултатите 4.39 – 2 = 154 и 4.40 – 2 = 158 не са възможни и за резултат от вида 4k – 1 ни трябва поне една задача с грешен отговор, т.е. резултат от 4.40 – 1 = 159 не е възможен.

Окончателно, не са възможни следните 6 резултата – 149, 153, 154, 157, 158 и 159.

Всички останали резултати от – 40 до 160 (общо 201) са възможни, т.е. броя възможни резултати е 201 – 6 = 195.

Следователно, трябва да има поне 2.195 + 1 = 391 кандидати.